11.设奇函数y=f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)，且x∈[0，]时f(x)=-x2，则f(3)+f(-)的值等于________.
答案 -
解析 由于y=f(x)为奇函数，根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)，
可得f(-t)=f(1+t)，
所以函数y=f(x)的一个周期为2，
故f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0，
f(-)=f()=-，
∴f(3)+f(-)=-.
12.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10，则a+b的值为________.
答案 -7
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+b，
由已知可得
解得a=4，b=-11或a=-3，b=3，
经验证，a=4，b=-11符合题意，
故a+b=-7.
13.已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围.
解 (1)∵函数的定义域为R，f′(x)=-，
∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，
∴f(x)在(-∞，0)上单调递增，
在(0，+∞)上单调递减.
(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=，
∴φ′(x)==-.
①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，
∴2φ(1)<φ(0)，即t>3->1;
②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，
∴2φ(0)<φ(1)，即t<3-2e<0;
③当00，φ(x)在(t,1)上单调递增，
∴2φ(t)
