4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布;
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因.
解 (1)X可能的取值为10,20,100，-200.
根据题意，有
P(X=10)=C×()1×(1-)2=，
P(X=20)=C×()2×(1-)1=，
P(X=100)=C×()3×(1-)0=，
P(X=-200)=C×()0×(1-)3=.
所以X的概率分布为
X 10 20 100 -200 P (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3)，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-()3=1-=.
(3)X的均值为
E(X)=10×+20×+100×-200×=-.
这表明获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆+=1(a>b>0)上不同的三点，A(3，)，B(-3，-3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明·为定值并求出该定值.
解 (1)由已知，得
解得
∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC中点为(，).
由已知，求得直线OA的方程为x-2y=0，
从而m=2n-3.①
又∵点C在椭圆上，∴m2+2n2=27.②
由①②，解得n=3(舍)，n=-1，从而m=-5.
∴点C的坐标为(-5，-1).
(3)设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).
∵P，B，M三点共线，∴=，
整理得y1=.
∵P，C，N三点共线，∴=，
整理得y2=.
∵点P在椭圆上，∴x+2y=27，x=27-2y.
从而y1y2=
==3×=.
∴·=5y1y2=，
∴·为定值，定值为.
6.已知函数f(x)=x+aln x在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g(x)=f(x)+x2-bx.
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围;
(3)设x1，x2 (x10)，
g′(x)=+x-(b-1)=.
设μ(x)=x2-(b-1)x+1，则μ(0)=1>0只需
⇒b>3.
∴b的取值范围为(3，+∞).
(3)令g′(x)=0，则x2-(b-1)x+1=0，
∴x1+x2=b-1，x1x2=1.
g(x1)-g(x2)=ln +(x-x)-(b-1)(x1-x2)
=ln +(x-x)-(x1+x2)(x1-x2)
=ln -
=ln-(-)，
设t=，∵0
