一、选择题
1.(文)曲线y=xex+2x-1在点(0，-1)处的切线方程为( )
A.y=3x-1 B.y=-3x-1
C.y=3x+1 D.y=-2x-1
[答案] A
[解析] k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3，
切线方程为y=3x-1，故选A.
(理)(2014·吉林市质检)若函数f(x)=2sinx(x[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)=2·(+1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率( )
A.1 B.
C. D. 2
[答案] C
[解析] f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)=+≥2，当且仅当x=1时，等号成立，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1∈[0，π]，
x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.
[方法点拨] 1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f ′(x0).
2.求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：
求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程;
(2)已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程;
(3)已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
3.若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′ (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程.
4.(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.
2.已知f(x)为定义在(-∞，+∞)上的可导函数，且f(x)e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)
B.f(1)e2012·f(0)
C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上为增函数，
F(1)>F(0)，F(2012)>F(0)，
即>，>，
f(1)>ef(0)，
f(2012)>e2012f(0).
[方法点拨] 1.函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增.如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减.
2.利用导数研究函数的单调性的步骤.
(1)找出函数f(x)的定义域;
(2)求f ′(x);
(3)在定义域内解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0.
3.求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0.
4.若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想.
3.(2015·新课标理，12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞，-1)(0,1) B.(-1,0)(1，+∞)
C.(-∞，-1)(-1,0) D.(0,1)(1，+∞)
[答案] A
[解析] 考查导数的应用.
记函数g(x)=，则g′(x)=，因为当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，且g(-1)=g(1)=0.当00，则f(x)>0;当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞，-1)(0,1)，故选A.
[方法点拨] 1.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根据解题的需要可以构造新的函数g(x)，通过研究g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原问题是常用的方法.如在讨论f ′(x)的符号时，若f ′(x)的一部分为h(x)，f ′(x)的符号由h(x)所决定，则可转化为研究h(x)的极(最)值来解决，证明f(x)>g(x)时，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等.
2.应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：
(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解.
(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决.
3.有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决：一是根与系数的关系与判别式，二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处理.
4.和函数与方程思想密切关联的知识点
函数y=f(x)，当y>0时转化为不等式f(x)>0.
数列是自变量为正整数的函数.
直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题.
立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解.
5.注意方程(或不等式)有解与恒成立的区别.
6.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略：
(1)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最大值.
(2)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值.
(3)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值.
(4)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最大值.
(5)x1∈[a，b]，当x2[c，d]时，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域与g(x)在[c，d]上的值域交集非空.
(6)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
(7)x2∈[c，d]，x1∈[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
4.(文)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f ′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是( )
[答案] B
[解析] 本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系.
由导数的几何意义可得，y=f(x)在[-1,0]上每一点处的切线斜率逐渐变大，而在[0,1]上则逐渐变小，故选B.
(理)(2014·石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为( )
[答案] D
[解析] A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大→减小→0→增大→减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形;然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.
[方法点拨] 1.由导函数的图象研究函数的图象与性质，应注意导函数图象位于x轴上方的部分对应f(x)的增区间，下方部分对应f(x)的减区间，与x轴的交点对应函数可能的极值点，导函数的单调性决定函数f(x)增长的速度;
2.由函数的图象确定导函数的图象时，应注意观察函数的单调区间、极值点，它们依次对应f′(x)的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决定导函数的单调性.
5.已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于-115，则a的值是( )
A.- B.
C.2 D.5
[答案] C
[解析] 依题意得f′(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2，3]，于是有3a>0，-2+3=-，-2×3=，
b=-，c=-18a，函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故选C.
二、解答题
