1.如图415所示,平面内三个向量,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μR),则λ+μ的值为________.
[解析] 以OC为对角线,,方向作平行四边形(如图所示ODCE).
由已知COD=30°,COE=90°,
在RtOCD中,||=2,
则||==4;
在RtOCE中,||=||·tan 30°=2,
=4,=2,
又=+=4+2.
λ=4,μ=2,故λ+μ=6.
[答案] 6
2.若点O是ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则ABC的形状为________.
[解析] +-2=-+-=+,-==-,|+|=|-|.
故A,B,C为矩形的三个顶点,ABC为直角三角形.
[答案] 直角三角形
二、解答题
3.设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ,λ[0,+∞).求点P的轨迹,并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点:
ABC的外心;ABC的内心;ABC的重心;
ABC的垂心.
[解] 如图,记=,=,则,都是单位向量,
||=||,=+,
则四边形AMQN是菱形,AQ平分BAC.
∵=+,由条件知=+λ,
=λ(λ[0,+∞)),
点P的轨迹是射线AQ,且AQ通过ABC的内心.