[A级 基础达标练]
一、填空题
1.(2014·徐州调研)若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=________.
[解析] 由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0，由题意得Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0解得k>-1，且x1+x2==4解得k=-1或k=2，故k=2.
[答案] 2
2.点P是圆(x-4)2+(y-1)2=4上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是________.
[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x=，y=，x0=2x，y0=2y，(x0，y0)是圆上的动点，
(x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.
[答案] (x-2)2+2=1
3.(2014·宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点P(2，k)与点F的距离为3，则抛物线方程为________.
[解析] xP=2>0，设抛物线方程为y2=2px，则|PF|=2+=3，=1，p=2.
[答案] y2=4x
4.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是________.
[解析] 设P(x，y)，则|x|+|y|=2.它的图形是一个以2为边长的正方形，故S=(2)2=8.
[答案] 8
5.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.则求动圆圆心的轨迹C的方程为________.
[解析] 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|=|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点.
|O1M|=，
又|O1A|=，
= ，
化简得y2=8x(x≠0).
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)
也满足方程y2=8x，
动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
[答案] y2=8x
图883
6.(2014·盐城调研)如图883所示，已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且·=0，=2.当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为________.
[解析] 圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-，0)，半径r=2，·=0，=2，MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|=|QP|，
||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2，
又|AC|=2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(-，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c=，a=1，得b2=1，因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.
[答案] x2-y2=1
7.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.则点M的轨迹方程为________.
[解析] 设M(x，y)，A，B，显然x1≠x2，由x2=4y，得y=x2，y′=x，于是过A、B两点的切线方程分别为y-=(x-x1)，即y=x- ，y-=(x-x2)，即y=x- ，由解得 ，设直线l的方程为y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4 ，代入得，即M(2k，-1)，故点M的轨迹方程是y=-1.
[答案] y=-1
8.(2014·江苏泰州中学期末)若椭圆C1：+=1(a1>b1>0)和C2：+=1(a2>b2>0)是焦点相同且a1>a2的两个椭圆，有以下几个命题：C1，C2一定没有公共点;>;a-a=b-b;a1-a2a2，所以b1>b2，C1，C2一定没有公共点;因为a1>a2，b1>b2，所以>不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)，因为a1+a2>b1+b2，所以a1-a2b>0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点(与O不重合).
若|MO|=2|OA|，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程;
若M是l与椭圆C2的交点，求AMB面积的最小值.
[解] (1)由题意得又a>b>0，解得a2=8，b2=1，因此所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知||=2||，·=0，
即解得
因为点A(m，n)在椭圆C2上，所以+n2=1.
即+x2=1，亦即+=1，
所以点M的轨迹方程为+=1.
设M(x，y)，则A(λy，-λx)(λR，λ≠0)，
因为点A在椭圆C2上，所以λ2(y2+8x2)=8，
即y2+8x2=，()
又x2+8y2=8，()
(ⅰ)+()得x2+y2=，
所以SAMB=OM·OA=|λ|(x2+y2)=·≥.
当且仅当λ=±1时，(SAMB)min=.
