[A级 基础达标练]
一、填空题
1.奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________________________________________________________________________种.
[解析] 分两步安排这8名运动员.
第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,所以安排方式有4×3×2=24(种).
第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120种.
安排这8人的方式有24×120=2 880(种).
[答案] 2880
2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有________种.
[解析] 因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色.
故有3×2×1=6种涂色方案.
[答案] 6
3.(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答).
[解析] 用2,3组成四位数共有2×2×2×2=16(个),其中不出现2或不出现3的共2个,
因此满足条件的四位数共有16-2=14(个).
[答案] 14
4.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的有________个.
[解析] 以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;
以2为首项的等比数列为2,4,8;
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这四个数列顺序颠倒,又得到4个数列,
故所求数列有8个.
[答案] 8
5.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y{1,2,3,…,9},且PQ.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是________.
[解析] 当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个).
当x≠2时,由PQ,x=y.
x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.
因此满足条件的点共有7+7=14(个).
[答案] 14
6.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择,其他号码只想在1、3、6、9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种.
[解析] 按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二位号码有3种选法,其余三位号码各有4种选法.
因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).
[答案] 960
图1013
7.如图1013所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个.
[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类:
第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32(个).
第二类,有两条公共边的三角形共有8个.
由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).
[答案] 40
8.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,则这样的四位数有________个.
[解析] 由题意知,1,2,3中必有某一个数字重复使用2次,第一步确定谁被使用2次,有3种方法;第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法.故共可组成3×3×2=18个不同的四位数.
[答案] 18
二、解答题
图1014
9.如图1014,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数有多少种.
[解] 可依次种A,B,C,D四块,当C与A种同一种花时,有4×3×1×3=36(种)种法;当C与A所种花不同时,有4×3×2×2=48(种)种法.
由分类加法计数原理,不同的种法种数为36+48=84种.
10.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱,其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信,甲箱中有30封,乙箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先从中确定一名幸运之星,再从两箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同结果?
[解] (1)幸运之星先在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20=17 400(种).
(2)幸运之星先在乙箱中抽取,有20×19×30=11 400(种).
共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.如图1015所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.
图1015
[解析] 四个焊点共有24种情况,其中使线路通的情况有:1、4都通,2和3至少有一个通时线路才通,共有3种可能.故不通的情况有24-3=13(种)可能.
[答案] 13
2.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有________个.
[解析] 由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43=192(个),其中无重复数字的四位数共有3A=18(个).
有重复数字的四位数有192-18=174(个).
[答案] 174
二、解答题
3.设集合Pn={1,2,…,n},nN*,记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:
A⊆Pn;若xA,则2xA;若xPnA,则2xPnA.
(1)求f(4);
(2)求f(n)的解析式(用n表示).
[解] (1)当n=4时,符合条件的集合A为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故f(4)=4.
(2)任取偶数xPn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,…,经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是x=m·2k,其中m为奇数,kN*.
由条件知,若mA,则xA⇔k为偶数;
若mA,则xA⇔k为奇数.
于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Qn是Pn中所有奇数的集合,因此f(n)等于Qn的子集个数.当n为偶数(或奇数)时,Pn中奇数的个数是,
所以f(n)=