【变式训练2】 (1)圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是________.
(2)(2014·湖南高考)若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=________.
[解析] (1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1=1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2=2，故两圆的圆心距|O1O2|=，而r2-r1=1，r1+r2=3，则有r2-r1<|O1O2|0，因此圆的方程是(x-a)2+(y-a)2=a2，由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2，即a2-10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|=×=8.
[答案] 8
4.(2014·宿迁模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________________________________________________________________.
[解析] 由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2+2=(a-1)2，解得a=3或a=-1，又圆心在x轴的正半轴上，a=3，故圆心坐标为(3,0).圆心(3,0)在所求的直线上，3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0.
[答案] x+y-3=0
5.(2014·山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为______________________.
[解析] 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a=2b>0，且a2=()2+b2，解得a=2，b=1.
所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
[答案] (x-2)2+(y-1)2=4
6.圆x2+y2-4x=0在点P(1，)处的切线方程是________.
[解析] 圆心Q(2,0)，点P(1，)在圆上，则过点P的切线与直线PQ垂直，kPQ==-，过点P的切线方程为y-=(x-1)即x-y+2=0.
[答案] x-y+2=0
7.(2014·南京质检)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________.
[解析] 设过原点的圆的切线是y=kx，由x2+(y-6)2=9，容易求得k=±.所以两切线的夹角为.
所以两条切线间的劣弧所对的圆心角为π-=，劣弧长为l=αR=×3=2π.
[答案] 2π
8.两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，若aR，bR且ab≠0，则+的最小值为________.
[解析] 将圆的方程化为标准方程，得(x+a)2+y2=4，x2+(y-2b)2=1，
两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于两半径之和.
故有a2+4b2=9，(a2+4b2)=1，
+=(a2+4b2)=≥(5+2)=1
当且仅当a2=2b2时，等号成立，即+的最小值为1.
[答案] 1
二、解答题
9.(2014·盐城一中检测)已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围;
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值.
[解] (1)圆的方程化为2+(y-3)2=，
故有>0，解得m<.
由消去y，
得x2+2+x-6×+m=0，
整理，得5x2+10x+4m-27=0.
∵直线l与圆C没有公共点，方程无解.
故有Δ=102-4×5(4m-27)<0，解得m>8.
m的取值范围是.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OPOQ，得·=0，即x1x2+y1y2=0.
由及根与系数的关系，得
x1+x2=-2，x1x2=.
又P，Q在直线x+2y-3=0上，
y1y2=×=[9-3(x1+x2)+x1x2].
将代入上式，得y1y2=，
将代入得x1x2+y1y2=+=0，
解得m=3.
代入方程检验得Δ>0成立，m=3.
10.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2，求直线MN的方程.
[解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离，
即r==2.
所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0.
则圆心O到直线MN的距离d=.
由垂径分弦定理得：+()2=22，即m=±.
所以直线MN的方程为：2x-y+=0或2x-y-=0.
