[A级 基础达标练]
一、填空题
1.从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________.
[解析] 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P==.
[答案]
2.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ -1 0 1 P 0.5 1-2q q2 则q=________.
[解析] 由分布列的性质得：
∴q=1-.
[答案] 1-
3.随机变量X的分布列如下：
X -1 0 1 P a b c 其中，a，b，c成等差数列，则P(|X|=1)=________.
[解析] 由题意知则2b=1-b，
则b=，a+c=，
所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.
[答案]
4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X=4)的值为________.
[解析] 事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X=4)==.
[答案]
5.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=________.
[解析] 设P(ξ=1)=a，P(ξ=2)=b，
则解得
所以D(ξ)=+×0+×1=.
[答案]
6.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0;当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时，ξ=1.则随机变量ξ的分布列是________.
[解析] 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ=0)===.
若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
故P(ξ=)==，于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 P(ξ) [答案]
ξ 0 1 P(ξ) 7.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)=0.3，那么n=________.
[解析] 由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.
所以取到每个数的概率均为.
P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3，
n=10.
[答案] 10
8.(2013·上海高考)设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)=________.
[解析] 由等差数列的性质，===x10，
D(ξ)=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x19-)2]
=d2(12+22+32+…+92)=30d2.
[答案] 30d2
二、解答题
9.(2014·连云港检测)设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件数.
(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;
(2)求X的概率分布和数学期望E(X).
[解] (1)“第一次取得正品且第二次取得次品”记为事件A.
则P(A)===.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，则
P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==.
故X的概率分布为
X 0 1 2 P 数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
10.某市为提高驾驶员的安全责任意识，特举办了一场“交通运输安全知识竞赛”，此次比赛分初赛、复赛、决赛三个关卡，每场比赛后都有一场复活赛，只有当该场比赛或该场比赛的复活赛过关才可以参加下一场比赛，三个关卡均通过即可获得奖品.已知王某通过初赛及其复活赛的概率均为，通过复赛及其复活赛的概率均为，通过决赛及其复活赛的概率均为，且每场比赛或其复活赛过关与否互不影响.
(1)求王某不需要参加复活赛就可获得奖品的概率;
(2)若王某不放弃所有比赛机会，记ξ为参加比赛的次数，求ξ的分布列与数学期望.
[解] (1)设“初赛一次过关”为事件A1;“需参加初赛的复活赛才能过关”为事件A2;
“复赛一次过关”为事件B1;“需参加复赛的复活赛才能过关”为事件B2;
“决赛一次过关”为事件C1;“需参加决赛的复活赛才能过关”为事件C2;
则A1、A2、B1、B2、C1、C2相互独立.
所以王某不需要参加复活赛就可获得奖品的概率为
P=P(A1B1C1)=P(A1)·P(B1)·P(C1)=××=.
(2)ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6，
P(ξ=2)=P( )=×=，
P(ξ=3)=P(A1B1C1+A1 )=××+××=，
P(ξ=4)=P(A1B2C1+A1B1 +A1B1C2+A2 +A2B1C1)=×××+×××+×××+×××+×××=，
P(ξ=5)=P(A1B2C2+A1B2 +A2B2C1+A2B1 +A2B1C2)
=××××+××××+××××+××××+×××=，
P(ξ=6)=P(A2B2 +A2B2C2)=×××××+××××=，
ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6 P E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×===.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2 P a F(x)=P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于________.
[解析] a++=1，a=，
x∈[1,2)，F(x)=P(X≤x)=+=.
[答案]
2.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)=________.
[解析] 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B，
从而有E(ξ)=np=4×=.
[答案]
二、解答题
3.(2014·苏州质检)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束.
(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;
(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).
[解] (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)==.
(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4，则
P(X=1)==，P(X=2)=·=，P(X=3)=··=，P(X=4)=···=.
故X的分布列为
X 1 2 3 4 P E(X)=1×+2×+3×+4×=.
