一、非标准
1.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。
2.(2014江西，文15改编)x，yR，若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2，求x+y的取值范围。
3.若对任意的aR，不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立，求实数x的取值范围。
4.已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围。
5.已知x，y，zR+，且x+y+z=1，求的最小值。
6.(2014江苏，21)已知x>0，y>0，证明：(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy。
7.已知a， b，cR，a+2b+3c=6，求a2+4b2+9c2的最小值。
8.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，求实数a的取值范围。
9.已知f(x)=|x+a|+|x-2|。
(1)当a=-1时，解关于x的不等式f(x)>5;
(2)已知关于x的不等式f(x)+a<2014(a是常数)的解集是非空集合，求实数a的取值范围。
10.(2014河南郑州模拟)已知函数f(x)=|x-a|。
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值;
(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
参考答案
1.解：令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值为，故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立，即a2+≤0，
即(a+1)≤0，解得a。
2.解：|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1，当且仅当0≤x≤1时取等号，
|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1，当且仅当0≤y≤1时取等号，
|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2。①
又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2，②
∴只有当0≤x≤1，0≤y≤1时，两式同时成立。
0≤x+y≤2。
3.解：由|1+a|-|1-a|≤2，
得|x|+|x-1|≥2。
当x<0时，-x+1-x≥2，x≤-。
当0≤x≤1时，x+1-x≥2，无解。
当x>1时，x+x-1≥2，x≥。
综上，x≤-或x≥。
4.解：函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立，
即|x-2|+|x+3|>m恒成立。
因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5，所以m<5，即m的取值范围是(-∞，5)。
5.解法一：由于(x+y+z)≥36。
所以≥36，最小值为36。
当且仅当x2=y2=z2，
即x=，y=，z=时，等号成立。
解法二：
=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+≥14+4+6+12=36。最小值为36。
当且仅当y=2x，z=3x，即x=，y=，z=时，等号成立。
6.证明：因为x>0，y>0，
所以1+x+y2≥3>0，
1+x2+y≥3>0，
故(1+x+y2)(1+x2+y)
≥3·3=9xy。
7.解法一：(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2)，
∴a2+4b2+9c2
≥(a+2b+3c)2=12。
∴a2+4b2+9c2的最小值为12。
解法二：由柯西不等式，
得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)
≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36，
故a2+4b2+9c2≥12，
从而a2+4b2+9c2的最小值为12。
8.解：利用绝对值不等式的性质求解。
|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|，
要使|x-a|+|x-1|≤3有解，
可使|a-1|≤3，-3≤a-1≤3，
∴-2≤a≤4。
9.解：(1)构造函数g(x)=|x-1|+|x-2|-5，则g(x)=
令g(x)>0，则x<-1或x>4，
原不等式的解集为(-∞，-1)(4，+∞)。
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a，
又关于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合，
|a+2|+a<2014，解得a<1006。
10.解：(1)由f(x)≤3，得|x-a|≤3，
解得a-3≤x≤a+3。
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
所以解得a=2。
(2)当a=2时，f(x)=|x-2|，
设g(x)=f(x)+f(x+5)，
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
所以当x<-3时，g(x)>5;
当-3≤x≤2时，g(x)=5;
当x>2时，g(x)>5。
综上可得，g(x)的最小值为5。
从而若f(x)+f(x+5)≥m，
即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-∞，5]。
