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湖南高考数学提分专练:数列交汇的综合问题

中华考试网  2015-05-24  【

  一、选择题

  1.已知等比数列{an},且a4+a8=

  dx,则a6(a2+2a6+a10)的值为(  )

  A.π2 B.4

  C.π D.-9π

  答案:A 命题立意:本题考查等比数列的性质及定积分的运算,正确地利用定积分的几何意义求解积分值是解答本题的关键,难度中等.

  解题思路:由于dx表示圆x2+y2=4在第一象限内部分的面积,故dx=×π×22=π,即a4+a8=π,又由等比数列的性质,得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2,故选A.

  2.(东北三校二次联考)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,若S21=S4 000,O为坐标原点,点P(1,an),点Q(2 011,a2 011),则·=(  )

  A.2 011 B.-2 011

  C.0 D.1

  答案:A 命题立意:本题考查等差数列前n项和公式与性质及平面向量的坐标运算,难度中等.

  解题思路:由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0,故有a2 011=0,

  因此·=2 011+ana2 011=2 011,故选A.

  3.以双曲线-=1的离心率为首项,以函数f(x)=4x-2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn=(  )

  A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)

  C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)

  答案:B 命题立意:本题考查双曲线的离心率及函数的零点与等比数列前n项和公式的应用,难度较小.

  解题思路:由双曲线方程易得e==,函数零点为,故由公式可得Sn==3=3-,故选B.

  4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为(  )

  A.4 B.1

  C.-4 D.-14

  答案:A 命题立意:本题考查等差数列的性质、前n项和及直线斜率的坐标计算形式,难度较小.

  解题思路:由题S5==55,故a1+a5=22,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=22,故a3=11,因为a4=15,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为kPQ===4,故选A.

  5.在等比数列{an}中,对于n∈N*都有an+1·a2n=3n,则a1·a2·…·a6=(  )

  A.±()11 B.()13

  C.±35 D.36

  答案:D 命题立意:本题考查数列的递推公式、等比数列的性质及整体代换思想,考查考生的运算能力,难度中等.

  解题思路:由等比数列的性质可知,a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3,令n=2,得a3·a4=32,故选D.

  6.等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1,(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1,则下列结论正确的是(  )

  A.d<0,S2 013=2 013 B.d>0,S2 013=2 013

  C.d<0,S2 013=-2 013 D.d>0,S2 013=-2 013

  答案:C 命题立意:本题考查函数的性质——单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式,难度中等.

  解题思路:记f(x)=x3+2 013x,则函数f(x)是在R上的奇函数与增函数;依题意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0,即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1,a8+1=-(a2 006+1),a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006,d=<0;a8+a2 006=-2,S2 013===-2 013,故选C.

  二、填空题

  7.在等差数列{an}中,a2=5,a1+a4=12,则an=________;设bn=(nN*),则数列{bn}的前n项和Sn=________.

  答案:2n+1  命题立意:本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法,难度中等.

  解题思路:设等差数列{an}的公差为d,则有a2+a3=5+a3=12,a3=7,d=a3-a2=2,an=a2+(n-2)d=2n+1,bn==,因此数列{bn}的前n项和Sn=×

  ==.

  8.设Sn为数列{an}的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”,若数列{cn}是首项为2,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则d=________.

  答案:4 解题思路:由题意可知,数列{cn}的前n项和为Sn=,前2n项和为S2n=,所以==2+=2+,所以当d=4时,=4.

  9.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足a1=-1,且Sn=2an+n(其中Sn为{an}的前n项和),则f(a5)+f(a6)=______.

  答案:3 解题思路:因为Sn=2an+n,则Sn-1=2an-1+n-1,

  两式相减得an=2an-1-1,通过拼凑整理得an-1=2(an-1-1),所以{an-1}是等比数列,则an-1=-2n,因此an=1-2n,所以a5=-31,a6=-63.

  由f=f(x)且函数f(x)是奇函数,用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x),用+x代替x得到f(3+x)=f(x),所以函数f(x)为周期为3,

  则f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.

  10.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成递减的等差数列.若A=2C,则的值为________.

  答案: 命题立意:本题主要考查等差数列、正弦定理、余弦定理与三角函数基本公式.解题思路是依据题意得出a,b,c之间的关系,再结合正弦定理、余弦定理及A=2C,从而得出a,c之间的关系.

  解题思路:依题意知b=,===2cos C=2×,即====,所以a2=c,即(2a-3c)(a-c)=0,又由a>c,因此有2a=3c,故=.

  三、解答题

  11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1,且a1=3,an>1.

  (1)设bn=log2(an-1),求证:数列{bn+1}为等比数列;

  (2)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn.

  命题立意:本题主要考查函数的性质,数列的通项公式和前n项和公式等知识.解题时,首先根据二次函数的奇偶性求出b值,确定数列通项的递推关系式,然后由等比数列的定义证明数列{bn+1}为等比数列,这样就求出数列{bn}的通项公式,进一步就会求出数列{cn}的通项公式,从而确定数列{cn}的前n项和Sn的计算方法.

  解析:(1)证明: 函数f(x)=x2+bx为偶函数,

  b=0, f(x)=x2,

  an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1,

  an+1-1=2(an-1)2.

  又a1=3,an>1,bn=log2(an-1),

  b1=log2(a1-1)=1,

  ====2,

  数列{bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

  (2)由(1),得bn+1=2n, bn=2n-1,

  cn=nbn=n2n-n.

  设An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,

  则2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,

  -An=2+22+23+…+2n-n×2n+1

  =-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2,

  An=(n-1)2n+1+2.

  设Bn=1+2+3+4+…+n,则Bn=,

  Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.

  12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

  (1)求f的值;

  (2)数列{an}满足:an=f(0)+f+f+…+f+f(1),求an;

  (3)令bn=,Tn=b+b+…+b,Sn=8-,试比较Tn与Sn的大小.

  解析:(1)令x=,

  则有f+f=f+f=1.

  f=.

  (2)令x=,得f+f=1,

  即f+f=1.

  an=f(0)+f+f+…+f+f(1),

  an=f(1)+f+f+…+f+f(0).

  两式相加,得

  2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1,

  an=,nN*.

  (3)bn==,

  当n=1时,Tn=Sn;

  当n≥2时,

  Tn=b+b+…+b

  =4

  <4

  =4

  =4=8-=Sn.

  综上,Tn≤Sn.

  13.某产品在不做广告宣传且每千克获得a元的前提下,可卖出b千克.若做广告宣传,广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出千克.

  (1)当广告费分别为1千元和2千元时,用b表示销售量s;

  (2)试写出销售量s与n的函数关系式;

  (3)当a=50,b=200时,要使厂家获利最大,销售量s和广告费n分别应为多少?

  解析:(1)当广告费为1千元时,销售量s=b+=.

  当广告费为2千元时,销售量s=b++=.

  (2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量,

  由题意得,s1-s0=,

  s2-s1=,

  ……

  sn-sn-1=.

  以上n个等式相加得,

  sn-s0=+++…+.

  即s=sn=b++++…+.

  ==b.

  (3)当a=50,b=200时,设获利为Tn,

  则有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×,

  设bn=20--n,

  则bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.

  当n≤2时,bn+1-bn>0;

  当n≥3时,bn+1-bn<0.

  所以当n=3时,bn取得最大值,即Tn取得最大值,此时s=375,即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为375千克和3千元.

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