一、非标准1.C 解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),nN+;分母为奇数列,可表示为2n-1,nN+,故选C.
2.D 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
=5×(5+1)=30.
3.B 解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,
从而T2015=(-1)671×2×=-1.
4.B 解析:Sn=2an+1,
∴当n≥2时,Sn-1=2an.
an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即(n≥2).
又a2=,
an=(n≥2).
当n=1时,a1=1≠,
an=
∴Sn=2an+1=2×.
5.3n 解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得an=3n.
6.5或6 解析:由题意令
解得
n=5或6.
7. 解析:(n+1)+an+1·an-n=0,
∴(an+1+an)=0.
又an+1+an>0,
(n+1)an+1-nan=0,
即,
·…·
=×…×,
∴an=.
8.解:(1)依题意,2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.
(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,
所以当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),
两式相减得,2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,
整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),
即=1.又=1,
故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)×1=n,
所以an=n2.
9.解:f(x)=ax2+bx(a≠0),
∴f'(x)=2ax+b.
又f'(x)=-2x+7,
a=-1,b=7.
∴f(x)=-x2+7x.
∵点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,
Sn=-n2+7n.
当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,
an=-2n+8(n∈N+).
令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
综上,an=-2n+8(nN+),且当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
10.D 解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN+),
∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2).
又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,
a1=1.
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
an=.
11. C 解析:由已知可得+1,+1=2.
又+1=2≠0,则+1=2n,bn+1=2n(n-λ),
bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,
故bn=2n-1(n-1-λ)(nN+).
由bn+1>bn,
得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ
