一、非标准
1.A 解析:an=an-1+2(n≥2),
∴an-an-1=2.
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
故a7=1+2×(7-1)=13.
2.B 解析:S9==27.
3.A 解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
所以a6=a1+5d=7,a1a6=14.
4.C 解析:由题意得3a6=15,a6=5.
所以a3+a4+…+a9=7a6=7×5=35.
5.C 解析:设等差数列{an}的公差为d,
a11-a8=3d=3,∴d=1.
∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,
∴a1=-8,∴令an=-8+(n-1)>0,解得n>9.
因此使an>0的最小正整数n的值是10.
6.C 解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,
{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,Sn=(2n-1)2,
a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
7.8 解析:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10=a8+a9<0,故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大.
8.10 解析:设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S9-S4=0,
即a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0,故a7=0.
而ak+a4=0=2a7,故k=10.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,
由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22,
所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,
所以a3=9,a4=13.
易知a1=1,d=4,故所求通项为an=1+(n-1)×4=4n-3.
(2)由(1)知Sn==2n2-n,
所以bn=.
(方法一)所以b1=,b2=,b3=(c≠0).
令2b2=b1+b3,解得c=-.
当c=-时,bn==2n,
当n≥2时,bn-bn-1=2.
故当c=-时,数列{bn}为等差数列.
(方法二)bn=.
c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.
bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N+),
∴数列{bn}是公差为2的等差数列.
故存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.
10.解:(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
11.D 解析:{}为递减数列,
=<1.
∴a1d<0.故选D.
12.B 解析:易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80.
又S4=a1+a2+a3+a4=40,
所以4(a1+an)=120,a1+an=30.
由Sn==210,得n=14.
13.B 解析:a1=19,an+1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.
an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,
则有kN+.
∴
∴≤k≤.
∵k∈N+,∴k=7.
∴满足条件的n的值为7.
14. 解析:因为2(nN+,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.
所以=1+3(n-1)=3n-2.
所以an=,n≥1.
所以a7=.
15.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=+n-5.
又2Sn=+n-4,
两式相减得2an=+1,
即-2an+1=,
也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1.
而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1.
因此,数列{an}为首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.
16.(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN+).
(2)解:由(1),得=2n-1(nN+).
又S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2015,得n=1008,
即存在满足条件的自然数n=1008.
