一、非标准
1.B 解析:证明y=x3是增函数时,依据的原理就是增函数的定义,用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提:增函数的定义,小前提:函数f(x)=x3满足增函数的定义.结论:函数f(x)=x3是增函数.故选B.
2.C 解析:由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.
3.D 解析:利用归纳推理求解.
由Sn++2=an=Sn-Sn-1,
得=-Sn-1-2(n≥2).
又S1=a1=-,
所以S2=-,S3=-,S4=-.
由归纳推理可得S2015=-.
4.C 解析:是类比推理,是归纳推理,是非合情推理.
5.A 解析:事实上由合情推理的本质:由特殊到一般,当n=2时,有S2=4,分别代入即可排除B,C,D三选项,从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4,公差为4的等差数列,因此所有圆点总和即为等差数列前(n-1)项和,即Sn=(n-1)×4+×4=2n2-2n.
6.8πr3 解析:由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=W'=(2πr4)'=8πr3.
7.42 解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.
8.201 解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:
(1)当成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
9.解:f(0)+f(1)=
=
=,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
证明:f(x)+f(1-x)
=
=
=
=.
10.解:(1)选择式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°
=1-sin30°=1-.
(2)由上述5个式子的结构特征可知,三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明如下:
(方法一)sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
(方法二)sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=-
sinαcosα-sin2α
=(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sin2α-(1-cos2α)=.
11.B 解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.
12.B 解析:经验证易知错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
13.nn 解析:第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;
第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;
第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.
14. 解析:对于,若对任意的bR,都a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.
反之,f(x)的值域为R,则对任意的bR,都a∈D使得f(a)=b,故正确.
对于,比如对f(x)=sin xB,但它无最大值也无最小值.
对于,∵f(x)∈A,
∴f(x)∈(-∞,+∞).
∵g(x)∈B,∴存在正数M使得-M≤g(x)≤M,
故f(x)+g(x)(-∞,+∞),
∴f(x)+g(x)∉B,正确.
对于,-,当a>0或a<0时,aln x(-∞,+∞),f(x)均无最大值,若f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)B,故正确.
15.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)
BFD与A是同位角,且BFD=∠A,(小前提)
则DFEA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DEBA,且DFEA,(小前提)
则四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
则ED=AF.(结论)
上面的证明可简略地写成:
四边形AFDE是平行四边形ED=AF.
16.解:(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,
由f″(x)=0,即2x-1=0,
解得x=.
f+3×=1.
由题中给出的结论,可知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.
(2)由(1),知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为,
所以f+f=2,
即f(x)+f(1-x)=2.
故f+f=2,
f+f=2,
f+f=2,
……
f+f=2.
所以f+f+f+f+…+
f×2×2014=2014.
