一、非标准1.A 解析:“至少有一个”的否定为“没有”.
2.D 解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.
3.D 解析:a>0,b>0,c>0,
∴≥6,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
4.B 解析:q==p.
5.A 解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)0,
即cos(A+C)>0,则A+C是锐角,
从而B>,故△ABC必是钝角三角形.
7. 解析:假设结论不成立,即的否定为.
8.a2>b2+c2 解析:由余弦定理cos A=<0,
则b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.
9.证明:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则=2px1,=2px2.
因为OAOB,
所以x1x2+y1y2=0.
所以=2px1·2px2=4p2x1x2=-4p2y1y2.
所以y1y2=-4p2.
所以x1x2=-y1y2=4p2,
所以x1x2,y1y2都是定值,即A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是定值.
10.(1)证明:设bn=,则b1==2.
因为bn+1-bn=
==1,
所以数列为首项是2,公差是1的等差数列.
(2)解:由(1)知,+(n-1)×1,
则an=(n+1)·2n+1.
因为Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+,
所以Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.
设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,
2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1.②
②-①,得
Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=n·2n+1,
所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).
11.B 解析:a=,
b=,
又,
,
即aa+b⇔()2·()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.
13.证明:因为SABC=|·||sin∠BAC
=
=
=,
而=(x,y),=(u,v),所以ABC的面积
SABC=
=|xv-yu|.
14.证明:(1)由AB是圆O的直径,得ACBC.
由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.
又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,
所以BC平面PAC.
(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为AOC的重心,得M为AC中点.
由Q为PA中点,得QMPC.
又O为AB中点,得OMBC.
因为QM∩MO=M,QM平面QMO,
MO平面QMO,BC∩PC=C,
BC平面PBC,PC平面PBC,
所以平面QMO平面PBC.
因为QG平面QMO,
所以QG平面PBC.
15.(1)解:由已知得
解得d=2,
故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)证明:由(1)得bn==n+.
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,rN+,且互不相等)成等比数列,则=bpbr,
即(q+)2=(p+)(r+).
则(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
p,q,r∈N+,∴
∴=pr,(p-r)2=0.
∴p=r,与p≠r矛盾.
在数列{bn}中,任意不同的三项都不可能成等比数列.
