一、非标准
1.A 解析:直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
2.D 解析:正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1l4,故B错误,则C也错误,故选D.
3.B 解析:有2条:A1B和A1C1.
4.D 解析:(方法一)在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面(如图1),这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.故选D.
(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α(如图2),
因为CD与平面α不平行,所以它们相交,
设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.
由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
5.A 解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.
6.0 解析:a⊥b,b⊥c,∴a与c可以相交、平行、异面,故错.
a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故错
由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交、平行,故错.
同理错,故真命题的个数为0.
7.4 解析:取CD的中点为G,由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
8.解:(1)连接AC,AB1,
由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知四边形AA1C1C为平行四边形,
所以ACA1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在AB1C中,由AB1=AC=B1C可知B1CA=60°,
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)连接BD,由(1)知ACA1C1.
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
EF是ABD的中位线,
EF∥BD.
又AC⊥BD,
∴AC⊥EF,即所求角为90°.
EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.
9.(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.
因为ABCD为矩形,
所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,
所以EOPB.
EO⊂平面AEC,PB平面AEC,
所以PB平面AEC.
(2)解:V=PA·AB·AD=AB,
由V=,可得AB=.
作AHPB交PB于H,
由题设知BC平面PAB,
所以BCAH.
故AH平面PBC.
又AH=.
所以A到平面PBC的距离为.
10.D 解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等.
BB1∥AA1,BC∥AD,
∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.
同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.
11.D 解析:连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.
连接A1C1,设AB=1,则AA1=2,A1C1=,A1B=BC1=,
故cosA1BC1=.
12.D 解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.
故l1与l2相交,
连接AD,则ABD为正三角形,
所以l1与l2的夹角为.故选D.
13.90° 解析:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.
因为E,F分别是AB,CD的中点,
故EGBC且EG=BC=1,FGAD,且FG=AD=1
即EGF为所求.
又EF=,由勾股定理的逆定理可得EGF=90°.
14.(1)解:由该四面体的三视图可知,
BDDC,BD⊥AD,AD⊥DC,
BD=DC=2,AD=1,
∴AD⊥平面BDC.
四面体体积
V=×2×2×1=.
(2)证明:BC∥平面EFGH,
平面EFGH平面BDC=FG,
平面EFGH平面ABC=EH,
BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.
同理EFAD,HG∥AD,
∴EF∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又AD⊥平面BDC,
AD⊥BC.∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.
15.解:(1)由已知得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.
(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,
则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角).
OA⊥底面ABCD,
OA⊥AD,OA⊥AC,
∴MD=.
∵四边形ABCD为正方形,
AE=ED=AC=,
∵ME=.
∵()2+()2=()2,
∴△DEM为直角三角形.
tan∠EMD=.
