一、非标准
1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.又2c=4,c=2,e==2.
2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,
则c1或k<-1.
9.解:设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
则a2+b2=()2=7.
由
消去y,得=1.
整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)
由直线y=x-1与双曲线有两个交点知a≠b,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1和x2为方程(*)的根,
于是x1+x2=.
由已知得=-,
则=-,即5a2=2b2.
由得
故所求双曲线方程为=1.
10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因为ABF2的周长为16,
所以由椭圆定义可得4a=16,
|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k>0,
且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),
化简可得(a+k)(a-3k)=0,
而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,
故AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.
11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.
由ABE是直角三角形,得=a+c,
即a2+ac=b2=c2-a2,
整理得c2-ac-2a2=0.
∴e2-e-2=0,
解得e=2(e=-1舍去).
12.A 解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,
得两根0,-.
不妨设a=0,b=-,
则A(0,0),B,
可求得直线方程y=-x,
因为双曲线渐近线方程为y=±x,
故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.
13.D 解析:因为椭圆的离心率为,
所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.
所以b2=a2,即a2=4b2.
因为双曲线的渐近线为y=±x,代入椭圆得=1
即=1,
所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.
则在第一象限的交点坐标为.
所以四边形的面积为4×b×b=b2=16.解得b2=5,
故椭圆方程为=1.
14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1x2=-8,
直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2=-8及=4y1,
则有y==-2.
因此D点在定直线y=-2上(x≠0).
(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),
代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0,
由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.
故切线l的方程可写为y=ax-a2.
分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.
则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,
即|MN2|2-|MN1|2为定值8.
15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1
(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.
从而|PQ|=|x1-x2|
=.
又点O到直线PQ的距离d=,
所以OPQ的面积SOPQ=d·|PQ|=.
设=t,则t>0,
SOPQ=.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.
所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
