1. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.
解 (1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|=2p，
∴S△OMN=·2p·==2，即p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足.设正方形的第三个顶点为P.
故可设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，
联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
则代入直线l可得MN的中点为(，)，
则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-)，
故P(0，+).
又·=0，则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.
即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.
1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，
由y0=+代入上式，化简得(3k4-4)(k2+1)=0.
解得k=± .∴存在直线l：y=± (x-1).
2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值.
解 (1)依题意知=，c>0，解得c=1.
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)由y=x2得y′=x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，
即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0，
又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，
所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解，
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义知AF=y1+1，BF=y2+1，
所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，
联立方程
消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，
∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，
∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1
=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5
=22+，
∴当y0=-时，AF·BF取得最小值，且最小值为.
3.(2013·浙江)
如图，点P(0，-1)是椭圆C1：+=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
解 (1)由题意得
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y=kx-1.
又圆C2：x2+y2=4，
故点O到直线l1的距离d=，
所以AB=2=2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由
消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0，
故x0=-.所以PD=.
设△ABD的面积为S，
则S=·AB·PD=，
所以S=
≤
=，
当且仅当k=±时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=±x-1.
4.已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+=0相切.
(1)求双曲线E的方程;
(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使·为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意知=a，
∴a=.
又∵2c=4，∴c=2，∴b==1.
∴双曲线E的方程为-y2=1.
(2)当直线为y=0时，
则P(-，0)，Q(，0)，F(-2,0)，
∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1.
当直线不为y=0时，
可设l：x=ty+m(t≠±)代入E：-y2=1，
整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±).(*)
由Δ>0得m2+t2>3.
设方程(*)的两个根为y1，y2，
满足y1+y2=-，y1y2=，
∴·=(ty1+m+2，y1)·(ty2+m+2，y2)
=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2
=.
当且仅当2m2+12m+15=3时，·为定值，
解得m1=-3-，m2=-3+(舍去).
综上，过定点M(-3-，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使·=1为定值.
5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y0>0)，
则切线斜率为-，切线方程为y-y0=-(x-x0)，
即x0x+y0y=4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.
由x+y=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时，x0y0有最大值，即S有最小值，
因此点P的坐标为(，).
由题意知解得
故C1的方程为x2-=1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-，0)，(，0)，
由此设C2的方程为+=1，其中b1>0.
由P(，)在C2上，得+=1，
解得b=3，因此C2的方程为+=1.
显然，l不是直线y=0.
设l的方程为x=my+，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2+2)y2+2my-3=0，
又设y1，y2是方程的根，因此
由x1=my1+，x2=my2+，得
因为=(-x1，-y1)，=(-x2，-y2)，
由题意知·=0，
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0，⑤
将①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0，
解得m=-1或m=-+1.
因此直线l的方程为x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.
