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2015届湖南高考数学冲刺专题练习1

中华考试网  2015-05-07  【

  题型一 利用归纳推理求解相关问题

  例1 如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴…,则第2 014个图形用的火柴根数为________.

  破题切入点 观察图形的规律,写成代数式归纳可得.

  答案 3 021×2 015

  解析 由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×1;

  第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2);

  第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3);

  ……

  由此,可以推出,第n个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n).

  所以第2 014个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2 014)

  =3×=3 021×2 015.

  题型二 利用类比推理求解相关问题

  例2 如图所示,在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有勾股定理c2=a2+b2.空间中的正方体,用一平面去截正方体的一角,截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,截面面积为S,类比平面中的结论有________.

  破题切入点 由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比.

  答案 S2=S+S+S

  解析 建立从平面图形到空间图形的类比,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时,注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质,平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质,平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥,线段的长度类比图形的面积,于是作出猜想:S2=S+S+S.

  总结提高 (1)归纳推理的三个特点

  ①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象,归纳所得到的结论是未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;

  ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否准确,还需要经过逻辑推理和实践检验,因此归纳推理不能作为数学证明的工具;

  ③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助发现问题和提出问题.

  (2)类比推理的一般步骤

  ①定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

  ②推测,即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;

  ③检验,即检验猜想的正确性,要将类比推理运用于简单推理之中,在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.

  1.已知x>0,观察不等式x+≥2=2,x+=++≥3=3,…,由此可得一般结论:x+≥n+1(n∈N*),则a的值为________.

  答案 nn

  解析 根据已知,续写一个不等式:

  x+=+++≥4=4,由此可得a=nn.

  2.在平面内点O是直线AB外一点,点C在直线AB上,若=λ+μ,则λ+μ=1;类似地,如果点O是空间内任一点,点A,B,C,D中任意三点均不共线,并且这四点在同一平面内,若=x+y+z,则x+y+z=________.

  答案 -1

  解析 在平面内,由三角形法则,得=-,=-.

  因为A,B,C三点共线,

  所以存在实数t,使=t,

  即-=t(-),

  所以=-+(+1).

  因为=λ+μ,

  所以λ=-,μ=+1,

  所以λ+μ=1.

  类似地,在空间内可得=λ+μ+η,λ+μ+η=1.

  因为=-,所以x+y+z=-1.

  3.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,…,则52 014的末四位数字为________.

  答案 5625

  解析 由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,故周期T=4.又由于2 014=503×4+2,因此52 014的末四位数字是5625.

  4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=________.

  答案 123

  解析 记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;

  f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;

  f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;

  f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;

  f(10)=f(8)+f(9)=123,即a10+b10=123.

  5.已知正三角形内切圆的半径是其高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是________.

  答案 正四面体的内切球的半径是其高的

  解析 设正四面体的每个面的面积是S,高是h,内切球半径为R,

  由体积分割可得:SR×4=Sh,

  所以R=h.

  6.观察下列等式:

  (1+1)=2×1

  (2+1)(2+2)=22×1×3

  (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

  …

  照此规律,第n个等式可为______________.

  答案 (n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

  解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三个等式右边的变化规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n×1×3×…×(2n-1).

  7.(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

  三角形数     N(n,3)=n2+n,

  正方形数 N(n,4)=n2,

  五边形数 N(n,5)=n2-n,

  六边形数 N(n,6)=2n2-n

  ………………………………………

  可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________________________________________________________________________.

  答案 1 000

  解析 由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当k为偶数时,N(n,k)=n2+n,

  ∴N(10,24)=×100+×10=1 100-100=1 000.

  8.两点等分单位圆时,有相应正确关系为sin α+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sin α+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知:四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________.

  答案 sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0

  解析 由类比推理可知,四点等分单位圆时,α与α+π的终边互为反向延长线,α+与α+的终边互为反向延长线

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