.已知等比数列{an}中，a1=，公比q=.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式.
(1)证明 因为an=×n-1=，Sn==，所以Sn=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通项公式为bn=-.
.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1(n≥2)，且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1，求证：{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明 an+Sn=n，
∴an+1+Sn+1=n+1，
②-得an+1-an+an+1=1，
2an+1=an+1，2(an+1-1)=an-1，
=.
首项c1=a1-1，又a1+a1=1.
a1=，c1=-，公比q=.
{cn}是以-为首项，公比为的等比数列.
(2)解 由(1)可知cn=·n-1=-n，
an=cn+1=1-n.
∴当n≥2时，bn=an-an-1=1-n-
=n-1-n=n.
又b1=a1=代入上式也符合，bn=n..已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a(a>0)，b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3.
(1)若a=1，求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一，求a的值.
解 (1)设数列{an}的公比为q，则b1=1+a=2，b2=2+aq=2+q，b3=3+aq2=3+q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2).
即q2-4q+2=0，解得q1=2+，q2=2-.
所以数列{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)，得aq2-4aq+3a-1=0(*)，
由a>0得Δ=4a2+4a>0，故方程(*)有两个不同的实根.
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，
代入(*)得a=.
.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点(Sn，an+1)在直线y=3x+1上，nN*.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)点(Sn，an+1)在直线y=3x+1上，
an+1=3Sn+1，an=3Sn-1+1(n>1，且nN*).
an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an，an+1=4an(n>1，nN*)，a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，
当t=1时，a2=4a1，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，an+1=4an，an+1=4n，bn=log4an+1=n，cn=an+bn=4n-1+n，
Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)
=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)
