.设函数f(x)=ax3-3x2，(aR)，且x=2是y=f(x)的极值点，求函数g(x)=ex·f(x)的单调区间.
解 f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因为x=2是函数y=f(x)的极值点.
所以f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1，
经验证，当a=1时，x=2是函数f(x)的极值点，
所以g(x)=ex(x3-3x2)，
g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)
=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex.
因为ex>0，所以y=g(x)的单调增区间是(-，0)和(，+∞);单调减区间是(-∞，-)和(0，).
.已知函数f(x)=x3-ax-1
(1)若f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在，求出a的取值范围;若不存在试说明理由.
(1)f′(x)=3x2-a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此当f(x)在(-∞，+∞)上单调递增时，a的取值范围是(-∞，0].
(2)若f(x)在(-1,1)上单调递减，
则对于任意x(-1,1)不等式f′(x)=3x2-a≤0恒成立
即a≥3x2，又x(-1,1)，则3x2<3因此a≥3
函数f(x)在(-1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，+∞).
.已知函数f(x)=aln x-ax-3(aR).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t[1,2]，函数g(x)=x3+x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.
(1)根据题意知，f′(x)=(x>0)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，+∞);
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1];当a=0 时，f(x)不是单调函数.
(2)f′(2)=-=1，a=-2，
f(x)=-2ln x+2x-3.
g(x)=x3+x2-2x，
g′(x)=3x2+(m+4)x-2.
g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)=-2，
由题意知：对于任意的t[1,2]，g′(t)<0恒成立，
∴- .设函数f(x)=ln x+在内有极值. (1)求实数a的取值范围; (2)若x1(0,1)，x2(1，+∞).求证：f(x2)-f(x1)>e+2-.注：e是自然对数的底数. (1)解 易知函数f(x)的定义域为(0,1)(1，+∞)， f′(x)=-==. 由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)=0在内有解，令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β). 不妨设0<α<，则β>e，又g(0)=1>0， 所以g=-+1<0，解得a>e+-2. (2)证明 由(1)知f′(x)>00β， f′(x)<0αe)， 则h′(β)=+1+=2>0， 所以函数h(β)在(e，+∞)上单调递增， 所以f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e)=2+e-.
