一、选择题
1.(2016·天津蓟县期中)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点可能落在的区间为( )
A.(0,1) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
解析：函数f(x)=|x-2|-lnx，
f(1)=1>0，f(2)=-ln2<0，f(3)=1-ln3<0，f(4)=2-ln4>0，f(5)=3-ln5>0，f(1)·f(2)<0，f(3)f(4)<0.函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.
答案：C
2.(2016·山东淄博六中期中)设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
解析：函数f(1.5)·f(1.25)<0，由零点存在定理，方程的根落在区间(1.25,1.5).故选B.
答案：B
3.(2016·黑龙江哈师大附中期中)关于x的方程|x|-a-1=0有解，则a的取值范围是( )
A.(0,1] B.(-1,0]
C.[1，+∞) D.(0，+∞)
解析：关于x的方程|x|-a-1=0有解，函数y=|x|的图象与直线y=a+1有交点，根据指数函数的单调性可知：0<|x|≤1，
方程有解只需00.∴f(0)f(1)<0，
∴函数f(x)=2ex+3x-a的零点所在的区间是(0,1).故选C.
答案：C
6.(2016·山东淄博淄川一中期中)设函数f(x)=ex+x-2的零点为x1，函数g(x)=lnx+x2-3的零点为x2，则( )
A.g(x1)<0，f(x2)>0
B.g(x1)>0，f(x2)<0
C.g(x1)>0，f(x2)>0
D.g(x1)<0，f(x2)<0
解析：因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增，且f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，由零点存在性定理知x1(0,1).因为函数g(x)=lnx+x2-3在(0，+∞)上单调递增，g(1)=-2<0，g(2)=ln2+1>0，由零点存在性定理知x2(1,2).因为函数g(x)=lnx+x2-3在(0，+∞)上单调递增，且x1(0,1)，所以g(x1)f(1)>0.故选A.
答案：A
7.(2016·湖南株洲质检)已知函数f(x)=-x-+2e有且只有一个零点，则k的值为( )
A.e+ B.e2+
C.1 D.e
解析：函数的定义域为(0，+∞)，令-x-+2e=0，即方程-x2+2ex=k只有一个解，设g(x)=-x2+2ex，则g′(x)=+2(e-x)，当x>e时，g′(x)<0;当00，故当x=e时，g(x)取得最大值g(e)=+e2，又-x2+2ex=k只有一个解，故k=+e2，故选B.
答案：B
8.(2016·河北保定定州期中)已知函数f(x)=关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的解，则b，c满足的条件是( )
A.b<0，c<0 B.b<0，c=0
C.b>0，c=0 D.b>0，c<0
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，设f(x)=t，当t=0时，方程有3个根;当t>0时，方程有4个根，当t<0时，方程无解.要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解，关于f(x)的方程f2(x)+bf(x)+c=0等价为t2+bt+c=0有一个正实数根和一个等于零的根.c=0，此时t2+bt=t(t+b)=0，则另外一个根为t=-b，即f(x)=-b>0，即b<0，c=0.故选B.
答案：B
二、填空题
9.(2016·上海六校联考一)已知f(x)=kx-|x-1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.
解析：令f(x)=0，得kx=|x-1|，设y1=kx，y2=|x-1|，画出这两个函数的图象，如图，折线为y2的图象，直线(实线)为y1的图象，且y1的图象恒过原点，要使f(x)有两个零点，则y1和y2的图象有两个交点，当k=1时，y1=x(虚线)与y2图象的右侧(x>1)平行，此时，两图象只有一个交点，因此，要使y1和y2的图象有两个交点，则0-1时无解，设h(x)=，即有h′(x)=，当-11时，h′(x)>0，h(x)单调递增.则x>0时，在x=1处，h(x)取得最小值h(1)=e，-10，则G(x)在[0，+∞)上单调递增，即G(x)≥G(0)=0，即F′(x)≥0，即F(x)在[0，+∞)上单调递增，则F(x)≥F(0)=0，即ex(3x-4)+x+4≥0，故当x≥0时，g(x)≥1.
12.(2016·福建福州三中期中)已知函数f(x)=ex-1-ax，aR.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点?若存在，请指出有几个零点;若不存在，请说明理由.
(3)若g(x)=ln(ex-1)-lnx，且f(g(x))0，函数f(x)在区间(-∞，+∞)上单调递增;当a>0时，f ′(x)>0x>lna，f ′(x)<0x0时，函数f(x)的单调递增区间为(lna，+∞)，单调递减区间为(-∞，lna).
(2)函数F(x)=f(x)-xlnx的定义域为(0，+∞)，由F(x)=0，得a=-lnx，x>0.令h(x)=-lnx，x>0，则h′(x)=，x>0，h′(x)>0⇒x>1，h′(x)<000，有f(x)>f(lna)=0，即ex-1>x>1.∴当x>0且x趋向0时，h(x)趋向+∞.随着x>0的增长，y=ex-1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x2的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢.故当x>0且x趋向+∞时，h(x)趋向+∞.得到函数h(x)的草图如图所示.故当a>e-1时，函数F(x)有两个不同的零点;当a=e-1时，函数F(x)有且仅有一个零点;当a0时，ex-1>x，故对x>0，g(x)>0，用分析法证明x>0，g(x)0，g(x)0，0，xex-ex+1>0.构造函数H(x)=xex-ex+1(x>0)，H′(x)=xex>0，故函数H(x)=xex-ex+1在(0，+∞)上单调递增，
H(x)>H(0)=0，则x>0，xex-ex+1>0成立.当a≤1时，由(1)知，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(g(x))1时，由(1)知，函数f(x)在(lna，+∞)上单调递增，在(0，lna)上单调递减，故当0f(x)，则不满足题意.综合得，满足题意的实数a的取值范围是(-∞，1].
