基础巩固组
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=( )
A.1 B.4 C.8 D.16
2.(2014辽宁,文8)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )
A.- 3B.-1 C.- 2D.-5
3.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A.- 1B.- 2C.1 D.2
4.(2014福建泉州模拟)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是( )
A. B.(1,1) C. D.(2,4)
5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
6.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
7.已知抛物线x2=2py(p为常数,p≠0)上不同两点A,B的横坐标恰好是关于x的方程x2+6x+4q=0(q为常数)的两个根,则直线AB的方程为 .
8.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),求△ABF的面积.
9.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
能力提升组
10.已知抛物线y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定
11.设x1,x2R,常数a>0,定义运算“*”,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
12.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )
A. 1B.3 C.4 D.2
13.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p= .
14.(2014大纲全国,文22)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,
①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;
②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
