1.C 解析:|PM|-|PN|=3<4,
∴由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.
又|PM|>|PN|,∴点P的轨迹为双曲线的右支.
2.C 解析:双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=.
∴c2=a2+b2=.
∴c=,故右焦点坐标为.
3.C 解析:e=2,∴=2.
设焦点F2(c,0)到渐近线y=x的距离为,
渐近线方程为bx-ay=0,
.
∵c2=a2+b2,∴b=.
由=2,得=2,
=4,
解得c=2.焦距2c=4,故选C.
4.A 解析:如图所示,在Rt△OPF中,OMPF,且M为PF的中点,
则△POF为等腰直角三角形.
所以△OMF也是等腰直角三角形.
所以有|OF|=|OM|,即c=a.
故e=.
5.A 解析:由=0,可知.
可设||=t1,||=t2,
则t1t2=2.
在△MF1F2中,=40,
则|t1-t2|=
==6=2a.
解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.
6.A 解析:双曲线的离心率为2,=2,
∴a∶b∶c=1∶∶2.
又
∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,
∴|F1F2|=2c=4a,
∴cos∠AF2F1
=
=,
选A.
7.2x±3y=0 解析:因为右焦点坐标是(,0),所以9+a=13,即a=4.
所以双曲线方程为=1.
所以渐近线方程为=0,
即2x±3y=0.
8. 解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n),
则Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m+a,-n)=0,
化简得a2-m2+n2=0.
又=1可得b=a,
故双曲线的离心率为e=.
9.(1)解:因为e=,
所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.
因为双曲线过点(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线方程为=1.
(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以=(-2-3,-m),
=(2-3,-m),
则=9-12+m2=m2-3.
因为点(3,m)在双曲线上,
所以9-m2=6,即m2=3.
所以=m2-3=0.
(3)解:由(2)知△F1MF2的高h=|m|=,由△F1MF2的底边|F1F2|=4,
则=6.
10.解:(1)设直线AB:=1,
由题意,所以
所以双曲线方程为=1.
(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),
设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.
设直线MN:y=kx-3,
所以所以3x2-(kx-3)2=9.
整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①
所以x1+x2=,
y1+y2=k(x1+x2)-6=,
x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k·(x1+x2)+9=9.
因为=(x1,y1-3),=(x2,y2-3), ·=0,
所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,
即+9-+9=0,
解得k2=5,所以k=±,代入①有解,
所以lMN:y=±x-3.
11.C 解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0),
因为抛物线的准线为x=-4,
且|AB|=4,所以|yA|=2.
把坐标(-4,2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,
所以双曲线方程为x2-y2=4,
即=1.
所以a2=4,所以实轴长2a=4.
12.B 解析:设△PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r,
整理可得|PF1|=|PF2|+2λc.
由双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a,
则2λc=2a,故λ=.
13.B 解析:由a2+1=4,得a=,
则双曲线方程为-y2=1.
设点P(x0,y0),则=1,
即-1.
=x0(x0+2)+
=+2x0+-1
=,
x0≥,∴当x0=时,取最小值3+2.故的取值范围是[3+2,+∞).
14. 解析:双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x.
由
解得A,
由
解得B.
设AB中点为E,
则E.
由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y+m=0垂直,
而kPE=,
于是=-1.
所以a2=4b2=4(c2-a2).
所以4c2=5a2,解得e=.
15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.
因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.
由椭圆的定义知2a2
==2.
于是a2==2.
故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.
当x=时,易知A(),B(,-),
所以||=2,||=2.
此时,||≠||.
当x=-时,
同理可知,||≠||.
②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.
由
得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
当l与C1相交于A,B两点时,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实根,
从而x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化简,得2k2=m2-3,
因此=x1x2+y1y2=≠0,
于是+2-2,
即||≠||,
故||≠||.
综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.
16.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,
所以=2,所以=2,
故c=a,
从而双曲线E的离心率e=.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OC|·|AB|=8,
因此a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.
记A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,
同理得y2=,
由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,
=8,
即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得,
(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k2<0,
Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.
解法二:(1)同解法一.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.
设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得-2或k<-2.
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因为4-k2<0,Δ>0,
所以x1x2=,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OA|·|OB|·sinAOB=8,
由已知sinAOB=,
所以=8,化简得x1x2=4.
所以=4,即m2=4(k2-4).
由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以双曲线E的方程为=1.
当lx轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.
