1.B 解析:证明y=x3是增函数时,依据的原理就是增函数的定义,用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提:增函数的定义,小前提:函数f(x)=x3满足增函数的定义.结论:函数f(x)=x3是增函数.故选B.
2.C 解析:由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.
3.D 解析:利用归纳推理求解.
由Sn++2=an=Sn-Sn-1,
得=-Sn-1-2(n≥2).
又S1=a1=-,
所以S2=-,S3=-,S4=-.
由归纳推理可得S2 015=-.
4.C 解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.
5.C 解析:因为f(2)=,f(4)>2=,f(8)>,f(16)>3=,f(32)>,所以猜想:f(2n)≥.
6.8πr3 解析:由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=W'=(2πr4)'=8πr3.
7.42 解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.
8.201 解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:
(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
9.解:f(0)+f(1)=
=
=,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.
由此猜想f(x)+f(1-x)=.
证明:f(x)+f(1-x)
=
=
=
=.
10.解:(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
=1-sin 30°=1-.
(2)由上述5个式子的结构特征可知,三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos (30°-α)=.
证明如下:
(方法一)sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos (30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α
=sin2α+cos2α=.
(方法二)sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos (30°-α)
=-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=-
sin αcos α-sin2α
=(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α)=.
11.B 解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.
12.B 解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);
同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).
13.nn 解析:第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;
第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;
第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.
14.①③④ 解析:对于①,若对任意的bR,都∃aD使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.
反之,f(x)的值域为R,则对任意的bR,都∃aD使得f(a)=b,故正确.
对于②,比如对f(x)=sin xB,但它无最大值也无最小值.
对于③,f(x)∈A,
∴f(x)∈(-∞,+∞).
∵g(x)∈B,∴存在正数M使得-M≤g(x)≤M,
故f(x)+g(x)(-∞,+∞),
∴f(x)+g(x)∉B,正确.
对于④,-,当a>0或a<0时,aln x(-∞,+∞),f(x)均无最大值,若f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)B,故正确.
15.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)
BFD与A是同位角,且BFD=∠A,(小前提)
则DFEA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DEBA,且DFEA,(小前提)
则四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
则ED=AF.(结论)
上面的证明可简略地写成:
⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.
16.解:(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,
由f″(x)=0,即2x-1=0,
解得x=.
f+3×=1.
由题中给出的结论,可知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.
(2)由(1),知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为,
所以f+f=2,
即f(x)+f(1-x)=2.
故f+f=2,
f+f=2,
f+f=2,
……
f+f=2.
所以f+f+f+f+…+
f×2×2 014=2 014.
