基础巩固组
1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 -7 11 -5 -12 -26
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.(2014山东省实验中学模拟)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
3.函数f(x)=的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则a的取值范围是( )
A.(-1,1) B.[1,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞)
5.(2014福建宁德模拟)对实数a和b,定义运算“☉”:a☉b=设函数f(x)=x2☉(x+1),若函数y=f(x)-c 恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( )
A.(0,1](3,4] B.(0,1]∪(2,4]
C.(0,3)∪(4,+∞) D.(0,4]
6.(2014广东广州模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是 .
7.判断方程3x-x2=0的负实数根的个数,并说明理由.
8.设f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在[1,2]上有零点,求m的取值范围.
能力提升组
9.(2014北京模拟)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
11.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 .
12.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
13.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
1.C 解析:由题意知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1个零点,故在[1,6]上至少有3个零点.
2.C 解析:由题意可知f(1)f(2)<0,即a(a-3)<0,所以00时,y=ln x与y=-2x+6的图象有1个交点;当x≤0时,函数y=-x(x+1)的图象与x轴有2个交点,所以函数f(x)有3个零点.
4.C 解析:当a=0时,函数f(x)的零点是x=-1;
当a≠0时,则Δ>0,f(0)·f(1)<0,解得a>1;
若Δ=0,即a=-,函数的零点是x=-2,不合题意.故选C.
5.A 解析:由题意可知,
函数f(x)=x2(x+1)=的图象为:
由x2=x+2,得x=-1或2,此时f(x)=1或4,若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,即函数f(x)的图象与y=c恰有两个不同的交点,由图可知须c(0,1]∪(3,4],故选A.
6.(1,2) 解析:设f(x)=x3-,
则x0是函数f(x)的零点.在同一坐标系下画出函数y=x3与y=的图象,如图所示.
f(1)=1-=-1<0,
f(2)=8-=7>0,
∴f(1)f(2)<0,
∴x0∈(1,2),
7.解:设f(x)=3x-x2,
因为f(-1)=-<0,f(0)=1>0,
又因为函数f(x)的图象在[-1,0]上是连续不断的,
所以函数f(x)在(-1,0)内有零点.
又因为在(-∞,0)上,函数y=3x递增,y=x2递减,
所以f(x)在(-∞,0)上是单调递增的.
故f(x)在(-1,0)内只有一个零点.
因此方程3x-x2=0只有一个负实数根.
8.解:令F(x)=0,即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0,
m=log2(2x-1)-log2(2x+1)
=log2=log2.
∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5.
∴.
∴≤1-.
∴log2≤log2≤log2,即log2≤m≤log2.
9.C 解析:f(x)是R上的增函数,且图象是连续的,f+4×-3=-2<0,f+4×-3=-1>0,
f(x)在内存在唯一零点.
10.B 解析:在平面直角坐标系内作出函数f(x)=的图象,如图所示.
当00,
所以若实数a满足条件,
则只需f(-1)·f(3)≤0,
即f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.
检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
(2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.
令f(x)=0,即x2-x-=0,解之得x=-或x=3.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.
综上所述,a<-或a>1.
13.解:因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当Δ=0,即m2-4=0时,m=±2.
当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去),
所以2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正根或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点.
故这种情况不符合题意.
综上可知,当m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
