基础巩固组
1.(2014福建漳州模拟)在等比数列{an}中,已知a2+a3=1,a4+a5=2,则a8+a9等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
2.(2014天津,文5)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )
A.2 B.-2 C. D.-
3.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )
A.420只 B.520只 C.只 D.只
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )
A. B.- C. D.-
5.(2014课标全国Ⅱ,文5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.
6.在等比数列{an}中,a1=1,公比q=2,若数列{an}的前n项和Sn=127,则n的值为 .
7.(2014广东,文13)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
8.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .
9.(2014福建,文17)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
10.(2014重庆,文16)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.
(1)求an及Sn;
(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
能力提升组
11.(2014福建泉州模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S2=2,则S4=( )
A.2 B.6 C.16 D.20
12.(2014天津一模)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为( )
A.{1,2} B.{1,2,3,4} C.{1,2,3} D.{1,2,4}
13.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数n为( )
A.12 B.14 C.15 D.16
14.(2014安徽,文12)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= .
15.已知等比数列{an}中,a2=32,a8=,an+160n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
1.C 解析:设等比数列{an}的公比为q,则q2==2,
故a8+a9=(a4+a5)q4=2×22=8.
2.D 解析:由题意知=S1·S4,则(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.故选D.
3.B 解析:由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{an},则a1=1+4=5,a2=5×4+5=25,…,an=5an-1,故数列{an}为等比数列,首项a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a20=5×519=520只蜜蜂.
4.C 解析:由题知公比q≠1,则S3==a1q+10a1,得q2=9.
又a5=a1q4=9,则a1=.
5.A 解析:a2,a4,a8成等比数列,
=a2·a8,
即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),
解得a1=2.
Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.
6.7 解析:由题意知Sn==2n-1=127,解得n=7.
7.5 解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4==4.
an>0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,
∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5
=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.
8.1 解析:设数列{an}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,
由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,d=-1,则a1+1=a3+3,故q=1.
9.解:(1)设{an}的公比为q,依题意,得
解得
因此,an=3n-1.
(2)因为bn=log3an=n-1,
所以数列{bn}的前n项和Sn=.
10.解:(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+…+(2n-1)==n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因为q2-(a4+1)q+S4=0,
即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4.
又因b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.
从而{bn}的前n项和Tn=(4n-1).
11.D 解析:根据题意,由于等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,
S2==2⇒1+q=4⇒q=3,
S4=·(1+q2)=2×10=20.
12.B 解析:因为Sn=2an-1,
所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-1.
两式相减得an=2an-2an-1,
整理得an=2an-1,
所以{an}是公比为2的等比数列.
又因为a1=2a1-1,解得a1=1,
故{an}的通项公式为an=2n-1.
而≤2,即2n-1≤2n,
所以有n=1,2,3,4.
13.D 解析:设等比数列{an}的公比为q,
则=q4=2.
由a1+a2+a3+a4=1,
得a1·=1,a1=q-1.
又Sn=15,即=15,
qn=16.
又q4=2,∴n=16.故选D.
14. 解析:由题意知数列{an}是以首项a1=2,公比q=的等比数列,
a7=a1·q6=2×.
15.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
则q6=.
又an+160n+800成立.
当an=4n-2时,
Sn==2n2,
令2n2>60n+800,
即n2-30n-400>0,
解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.
综上,当an=2时,不存在满足题意的n;
当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.
