基础巩固组
1.(2014山东烟台质检)函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1
2.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )
3.已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4)=-3,且对任意xR总有f'(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为( )
A.(-∞,4)
B.(-∞,-4)
C.(-∞,-4)(4,+∞)
D.(4,+∞)
4.(2014福建南平模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)·g'(x)>f'(x)·g(x).
若,则a等于( )
A. B.2 C. D.2或
5.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是( )
A.100单位 B.150单位 C.200单位 D.300单位
6.已知函数f(x)=x3-3x-m在[0,2]上有零点,则实数m的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.以上都不对
7.若f(x)=xsin x+cos x,则f(-3),f,f(2)的大小关系为 .
8.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m= .
9.横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,求横断面的高和宽分别是多少.
10.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
能力提升组
11.(2014湖南,文9)若0ln x2-ln x1 B.x1 D.x20时,f'(x)=ex-1>0;当x<0时,f'(x)=ex-1<0,即函数在x=0处取得极小值,f(0)=1.又f(-1)=+1,f(1)=e-1,综合比较得,函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是e-1.故选D.
2.C 解析:由y=f'(x)的图象易知当x<0或x>2时,f'(x)>0,故函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增;当04.
4.A 解析:由①②得=ax,
又'
=,
由③知'<0,故y=ax是减函数,因此00,所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,此时g(1)=1-3=-2.又因为g(0)=0,g(2)=8-6=2,所以g(x)的最大值为2.所以g(x)的值域为[-2,2],故选A.
7.f(-3)0,
x时,f'(x)<0,
f(x)在区间上是减函数,
f>f(2)>f(3)=f(-3).
8.32 解析:令f'(x)=3x2-12=0,
得x=-2或x=2.
列表得:
x -3 (-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 17 单调递
增↗ 极大
值24 单调递
减↘ 极小
值-8 单调递
增↗ -1
可知M=24,m=-8,
M-m=32.
9.解:如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.
由题意知:当xy2取最大值时,横梁的强度最大.
y2=d2-x2,
∴xy2=x(d2-x2)(00;
当d0,
当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-或x>.
由f'(x)<0,解得-0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞),单调减区间为(-).
(2)f(x)在x=-1处取得极值,
f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,
∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,
f'(x)=3x2-3.
由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,
f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
结合如图所示f(x)的图象可知:
实数m的取值范围是(-3,1).
11.C 解析:设f(x)=ex-ln x,则f'(x)=.当x>0且x趋近于0时,x·ex-1<0;
当x=1时,x·ex-1>0,因此在(0,1)上必然存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确;设g(x)=,当0g(x2),即,所以x2>x1.故选C.
12.A 解析:f(x)=ax3+bx+2x,
∴f'(x)=3ax2+b+2xln 2.
∵a,b为正实数,
f'(x)>0,
∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]上也单调递增,
即f(1)=a·13+b·1+21=4,
a+b=2.
∴f(-1)=a·(-1)3+b·(-1)+2-1=-a-b+=-2+=-.
故函数f(x)在[-1,0]上的最小值为-.
13.(2,3) 解析:因为函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b,
所以f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
因为f(x)有六个不同的单调区间,
又因为函数为偶函数,所以当x>0时,有三个单调区间,
即f'(x)=x2-ax+3-a=0有两个不同的正根,
所以解得20,h(x)是增函数.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少为11.25 L.
15.解:(1)由f(x)=xln x,
可得f'(x)=ln x+1.
当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以函数f(x)在[1,3]上单调递增.
又f(1)=ln 1=0,
所以函数f(x)在[1,3]上的最小值为0.
(2)由题意知,2xln x≥-x2+ax-3,则a≤2ln x+x+.
若存在x使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,
只需a小于或等于2ln x+x+的最大值.
设h(x)=2ln x+x+(x>0),则h'(x)=+1-.
当x时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x(1,e]时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
由h=-2++3e,h(e)=2+e+,h-h(e)
=2e--4>0,
可得h>h(e).
所以,当x时,h(x)的最大值为h=-2++3e.
故a≤-2++3e.
