三、解答题
11.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
解析:设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船(在D点),
则CD=10t海里,BD=10t海里.
在ABC中,由余弦定理 ,得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6,
BC=(海里).
由正弦定理知=,
sin ∠ABC===,
ABC=45°, B点在C点的正东方向上,
CBD=90°+30°=120°.
在BCD中,由正弦定理,得
=,
sin ∠BCD=
==,
BCD=30°, 缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在BCD中,CBD=120°,BCD=30°,
D=30°,
BD=BC,即10t=,
t=小时≈15分钟.
故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
12.已知向量m=sin(A-B),sin,n=(1,2sin B),m·n=sin 2C,其中A,B,C分别为ABC的三边a,b,c所对的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A+sin B=2sin C,且SABC=,求边c的长.
解析:(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B
=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B),
在ABC中,A+B=π-C且0
sin(A+B)=sin C,
又 m·n=sin 2C,
sin C=sin 2C=2cos Csin C,
cos C=, C=.
(2) sin A+sin B=2sin C,
由正弦定理得a+b=2c,
SABC=absin C=ab=,得ab=4,
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C
=(a+b)2-3ab=4c2-12,
c=2.
13.在ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C所对的三边,已知b2+c2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若2sin2+2sin2=1,试判断ABC的形状.
解析:(1)b2+c2=a2+bc,
所以cos A===,
又A(0,π),得到A=.
(2) 2sin2+2sin2=1,
1-cos B+1-cos C=1,
cos B+cos C=1,
即cos B+cos=1,得到
sin=1,
0
B+=,
B=,ABC为等边三角形.
14.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,4sin2-cos 2A=.
(1)求A的度数;
(2)若a=,b+c=3,求b,c的值.
解析:(1) B+C=π-A,即=-,
由4sin2-cos 2A=,
得4cos2-cos 2A=,
即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=,
整理得4cos2A-4cos A+1=0,
即(2cos A-1)2=0.
cos A=,又0°
(2)由A=60°,根据余弦定理cos A=,得=,
b2+c2-bc=3,
又b+c=3,
∴ b2+c2+2bc=9.
①-得bc=2.