1.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班;乙说：我在8日和9日都有值班;丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )
A.2日和5日B.5日和6日
C.6日和11日D.2日和11日
答案 C
解析 由题意，得1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26.根据甲说：我在1日和3日都有值班;乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选C.
2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
答案 A
解析 反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根.故选A.
3.观察下列规律|x|+|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12，….则|x|+|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为( )
A.76B.80
C.86D.92
答案 B
解析 观察可得不同整数解的个数4,8,12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an=4n，则所求为第20项，所以a20=80，故选B.
4.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y=cosx(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cosx(x∈R)是周期函数.
A.①②③B.②①③
C.②③①D.③②①
答案 B
解析 根据“三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：①y=cosx(x∈R )是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cosx(x∈R )是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③，故选B.
5.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类(n∈N*)，分别编号为1,2，…，n，买家共有m名(m∈N*，m A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2m B.a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2 C.a11a12+a21a22+…+am1am2 D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m 答案 C 解析 ∵aij= 1≤i≤m,1≤j≤n， ∴ai1ai2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品， ∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+am1am2，故选C. 6.对于任意正整数n，定义“n!!”如下：当n是偶数时，n!!=n·(n-2)·(n-4)·…·6·4·2，当n是奇数时，n!!=n·(n-2)·(n-4)·…·5·3·1，且有n!=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.现有四个命题： ①2016!!·2015!!=2016!;②2016!!=21008×1008!;③2015!!的个位数字是5;④2014!!的个位数字是0. 其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 D 解析 根据题意，依次分析四个命题可得： 对于①，2016!!·2015!!=(2·4·6·8·…·2008·2010·2012·2014·2016)·(1·3·5·7·…·2009·2011·2013·2015)=1·2·3·4·5·…·2012·2013·2014·2015·2016=2016!，故①正确;对于②，2016!!=2·4·6·8·10·…·2008·2010·2012·2014·2016=21008(1·2·3·4·…·1008)=21008·1008!，故②正确;对于③，2015!!=2015×2013×2011×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故③正确;对于④，2014!!=2·4·6·8·…·2008·2010·2012·2014，其中含有10，故个位数字为0，故④正确.故选D. 7.已知数列{an}是正项等差数列，若cn=，则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得( ) A.若{dn}满足dn=，则{dn}也是等比数列 B.若{dn}满足dn=，则{dn}也是等比数列 C.若{dn}满足dn=[b1·(2b2)·(3b3)·…·(nbn)]，则{dn}也是等比数列 D.若{dn}满足dn=[b1·b·b·…·b]，则{dn}也是等比数列 答案 D 解析 等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得：若{dn}满足dn=[b1·b·b·…·b]，则{dn}也是等比数列. 8.如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC;类似地有命题：在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为点M，延长DM交BC于点E，则有S△ABC=S△BCM·S△BCD.上述命题是( ) A.真命题 B.增加条件“AB⊥AC”才是真命题 C.增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题 D.增加条件“三棱锥A-BCD是正三棱锥”才是真命题 答案 A 解析 连接AE.因为AD⊥平面ABC，AE平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2=ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为点M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，又AM∩AD=A，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，BC⊥AE，S=(·BC·AE)2=BC·EM·BC·DE=S△BCM·S△BCD，可得S=S△BCM·S△BCD，故选A. 9.下列推理是归纳推理的是( ) A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C.由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B 解析 由S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理. 10.用数学归纳法证明不等式+++…+>(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边( ) A.增加了一项 B.增加了一项+ C.增加了+，又减少了 D.增加了，又减少了 答案 C 解析 当n=k时，左边=++…+， 当n=k+1时，左边=++…+=(++…+)-++，故选C. 11.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法正确的是( ) ①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多. A.①②B.①④ C.②③D.②④ 答案 D 解析 大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故②正确;卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多.故④正确，故选D. 12.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙.在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) A.3个B.4个 C.99个D.100个 答案 D 解析 先推出两个小伙子的情形，如果甲的身高数>乙的身高数，且乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人.再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数>乙的身高数>丙的身高数，且丙的体重数>乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人.由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai(i=1,2，…，100)，其身高数为xi，体重数为yi， 当y100>y99>…>yi>yi-1>…>y1，x1>x2>…>xi>xi+1>…>x100时，由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100;由体重看，Ai不亚于Ai-1，Ai-2，…，A1，所以，Ai不亚于其他99人(i=1,2，…，100)，所以，Ai为棒小伙子(i=1,2，…，100).因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个.故选D. 13.在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，点P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：++=1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________. 答案 +++=1 解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高，点P为三棱锥A-BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：+++=1. 14.设S=+++…+，则不大于S的最大整数[S]=________. 答案 2014 解析 ∵ = ==1+(-)， ∴S=1+(-)+1+(-)+…+1+(-)=2015-，故[S]=2014. 15.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________. 答案 S+S+S=S 解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S+S+S=S. 16.若函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是x的函数，就把y′=f′(x)的导数y″=f″(x)叫做函数y=f(x)二阶导数，记做y(2)=f(2)(x).同样函数y′=f′(x)的n-1阶导数叫做y=f(x)的n阶导数，记作y(n)=f(n)(x).在求y=ln(x+1)的n阶导数时，已求得y′=，y(2)=-，y(3)=，y(4)=-，…，根据以上推理，函数y=ln(x+1)的n阶导数为____________________. 答案 y(n)=(-1)n-1 解析 由题意知：当n为奇数时，函数的n阶导数为正，n为偶数时，函数的n阶导数为负. 故答案为y(n)=(-1)n-1.
