1.已知平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，则|a+b|等于( )
A.0B.
C.2D.
答案 D
解析 ∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，
∴a·b=a2=，
∴|a+b|==
==.
2.已知向量a，b，其中a=(-1，)，且a⊥(a-3b)，则b在a上的投影为( )
A.B.-
C.D.-
答案 C
解析 由a=(-1，)，且a⊥(a-3b)，
得a·(a-3b)=0=a2-3a·b=4-3a·b，a·b=，
所以b在a上的投影为==，故选C.
3.在平面直角坐标系中，已知点A，B分别是x轴，y轴上的一点，且|AB|=1，若点P(1，)，则|++|的取值范围是( )
A.[5,6]B.[6,7]
C.[6,9]D.[5,7]
答案 D
解析 设A(cosθ，0)，B(0，sinθ)，
则++=(3-cosθ，3-sinθ)，
|++|2=(3-cosθ)2+(3-sinθ)2
=37-6(cosθ+sinθ)=37-12sin(θ+)，
即可求得范围是[5,7].
4.已知向量a=(1，x)，b=(-1，x)，若2a-b与b垂直，则|a|等于( )
A.B.
C.2D.4
答案 C
解析 a=(1，x)，b=(-1，x)，
∴2a-b=2(1，x)-(-1，x)=(3，x)，
由(2a-b)⊥b3×(-1)+x2=0，
解得x=-或x=，
∴a=(1，-)或a=(1，)，
∴|a|==2或|a|==2.
故选C.
5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，=2，点F在边CD上，若·=3，则·的值为( )
A.4B.
C.0D.-4
答案 D
解析 如图所示，=2BE=BC=，
·=3AFcos∠BAF=1DF=1，
以点A为原点建立平面直角坐标系，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，则B(0,3)，F(，1)，E(，3)，
因此=(，-2)，·=×-2×3=2-6=-4.
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n (m，n∈R)，则等于( )
A.-3B.-
C.D.3
答案 A
解析 如图，作AE∥DC，交BC于点E，则ADCE为平行四边形，==m+n，
又=+=-，
所以故=-3.
7.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=，则·的取值范围为( )
A.[3,6]B.[4,6]
C.[2，] D.[2,4]
答案 B
解析 以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(3,0)，B(0,3)，
∴AB所在直线的方程为：+=1，
则y=3-x.
设N(a,3-a)，M(b,3-b)，
且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨设a>b，
∵MN=，∴(a-b)2+(b-a)2=2，
∴a-b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，
∴·=(b,3-b)·(a,3-a)
=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3)
=2(b-1)2+4,0≤b≤2，
∴当b=0或b=2时有最大值6;
当b=1时有最小值4.
∴·的取值范围为[4,6]，故选B.
8.△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量n=(a+c，sinB-sinA)，m=(a+b，sinC)，若m∥n，则角B的大小为( )
A.B.
C. D.
答案 B
解析 若m∥n，则(a+b)(sinB-sinA)-sinC(a+c)=0，
由正弦定理可得：(a+b)(b-a)-c(a+c)=0，
化为a2+c2-b2=-ac，
∴cosB==-.
∵B∈(0，π)，∴B=，故选B.
9.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，点E为BC边上一点，=3，点F为AE的中点，则等于( )
A.-B.-
C.-+D.-+
答案 C
解析 如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则DG∥BC，
∴==-=-，
=+=+=+(-)
=+，
于是=-=-
=(+)-
=-+，
故选C.
10.设点P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是( )
A.1∶3B.1∶2
C.2∶3D.3∶4
答案 B
解析 依题意，得CP=2PA，设点B到AC之间的距离为h，
则△PAB与△PBC的面积之比为==.
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m=(a，b)，n=(sinB，cosA)，m⊥n，b=2，a=，则△ABC的面积为( )
A.B.
C. D.2
答案 C
解析 ∵在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
m=(a，b)，n=(sinB，cosA)，m⊥n，b=2，a=，
∴m·n=asinB+bcosA=sinB+2cosA=0，
∴sinB=-，
由正弦定理得=，
整理得sinA=-cosA，
∴sin2A+cos2A=4cos2A=1，cosA<0，
∴cosA=-.∵00)，如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是________.
答案 [5，+∞)
解析 ∵点P在直线3x+4y+25=0上，
设点P(x，)，
∴=(x+m，)，=(x-m，).
又∠APB=90°，
∴·=(x+m)(x-m)+()2=0，
即25x2+150x+625-16m2=0.
由Δ≥0，即1502-4×25×(625-16m2)≥0，
解得m≥5或m≤-5.
又m>0，∴m的取值范围是[5，+∞).
15.设向量=(-1，-3)，=(2sinθ，2)，若A，B，C三点共线，则cos2θ=________.
答案
解析 向量=(-1，-3)，=(2sinθ，2)，
∵A，B，C三点共线，∴-6sinθ=-2，∴sinθ=，
∴cos2θ=1-2sin2θ=.
16.在△ABC中，AB=，cosB=，点D在边AC上，BD=，且=λ(+) (λ>0)，则sinA的值为________.
答案
解析 如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，则=λ(+) (λ>0)
=λ(+)=，
∴和共线，∴点D和点F重合，
∴D是AC的中点.
∵=(+)，
∴||2=(||2+||2+2·)
=+||+=5.
又AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，
即AC2=+BC2-·BC·，
解方程可得BC=2，AC=，
由正弦定理=，
且sinB===，
可得sinA===.
