1.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=2xB.y=x3+x
C.y=-D.y=-log2x
答案 B
解析 若函数是奇函数，则f(-x)=-f(x)，故排除A、D;对C：y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，但在定义域上不单调，故C错，故答案为B.
2.已知函数f(x)=|lnx|-1，g(x)=-x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值.设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}，则函数h(x)的零点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 画图可知四个零点分别为-1和3，和e，但注意到f(x)的定义域为x>0，故选C.
3.已知函数f(x)=ln(2x+)-，若f(a)=1，则f(-a)等于( )
A.0B.-1
C.-2D.-3
答案 D
解析 因为f(a)+f(-a)=+=-2，
所以f(-a)=-2-f(a)=-2-1=-3.故选D.
4.设函数f(x)=ex+x-2，g(x)=lnx+x2-3，若实数a，b满足f(a)=g(b)=0，则( )
A.f(b)<00，所以00，所以10，g(a)<0，故g(a)<00)上的值域为[m，n]，则m+n的值是( )
A.0B.1
C.2D.4
答案 D
解析 f(x)=1++sinx=1+2()+sinx=3-+sinx，
m+n=f(-k)+f(k)
=6-2(+)+sin(-k)+sink=6-2=4.
6.函数y=4cosx-e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是( )
答案 A
解析 由解析式知函数为偶函数，故排除B、D.又f(0)=4-1=3>0，故选A.
7.设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)，则满足上述条件的f(x)可以是( )
A.f(x)=cosB.f(x)=sin
C.f(x)=2cos2D.f(x)=2cos2
答案 C
解析 根据y=f(x)是偶函数，排除B;由f(x+6)=f(x)+f(3)知道y=f(x)是周期函数，6是它的一个周期，C选项可整理为f(x)=1+cos，其周期为T==6，符合题意，故选C.
8.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0).已知五个方程的相异实根个数如下表所述：
f(x)-20=0 1 f(x)+10=0 1 f(x)-10=0 3 f(x)+20=0 1 f(x)=0 3 α为f(x)的极大值，下列选项中正确的是( )
A.0<α<10 B.10<α<20
C.-10<α<0D.-20<α<-10
答案 B
解析 方程f(x)-k=0的相异实根数可化为方程f(x)=k的相异实根数，方程f(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与水平线y=k两图形的交点数.依题意可得两图形的简略图有以下两种情形：
(1)当a为正时，
(2)当a为负时，
因极大值点位于水平线y=10与y=20之间，所以其纵坐标α(即极大值)的范围为10<α<20.
9.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))=0、g(f(x))=0的实根个数分别为a、b，则a+b等于( )
A.14B.10
C.7D.3
答案 B
解析 由图可知，图1为f(x)的图象，图2为g(x)的图象，m∈(-2，-1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))=0g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1x=-1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=-2，x=2，∴方程f(g(x))=0有7个根，即a=7;而方程g(f(x))=0f(x)=m或f(x)=0或f(x)=nf(x)=0x=-1，x=0，x=1，
∴方程g(f(x))=0有3个根，即b=3.∴a+b=10，
故选B.
10.当函数f(x)=有且只有一个零点时，a的取值范围是( )
A.a≤0B.01
答案 D
解析 ∵f(1)=lg1=0，∴当x≤0时，函数f(x)没有零点，故-2x+a>0或-2x+a<0在(-∞，0]上恒成立，即a>2x，或a<2x在(-∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0，故选D.
11.函数y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则+的最小值为( )
A.2B.4
C.D.
答案 D
解析 由题意，得点A(-2，-1)，
故-2m-n+2=0，即2m+n=2，
∴+=+=++2+≥4+=，当且仅当m=n=时，等号成立.故选D.
12.设函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f(x1)+f(x2)=2b，则称点(a，b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(-2015)+f(-2014)+f(-2013)+…+f(2014)+f(2015)等于( )
A.0B.2014
C.4028D.4031
答案 D
解析 ∵f(x)=x3+sinx+1，∴f′(x)=3x2+cosx，
f″(x)=6x-sinx，又∵f″(0)=0，
而f(x)+f(-x)=x3+sinx+1-x3-sinx+1=2，
函数f(x)=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为(0,1)，
即x1+x2=0时，总有f(x1)+f(x2)=2，
∴f(-2015)+f(-2014)+f(-2013)+…+f(2014)+f(2015)=2×2015+f(0)=4030+1
=4031.故选D.
13.已知函数f(x)=则f(f(-))=________;f(x)的最小值为________.
答案 1 0
解析 f(f(-))=f(log33)=f(1)=1+2-2=1.
当x≥1时，f(x)=x+-2≥2-2;
当x<1时，f(x)=log3(x2+1)≥0.
故f(x)的最小值为f(0)=0.
14.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=()t-a(a为常数)，如图所示.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室.则从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.
答案 0.6
解析 当t=0.1时，可得1=()0.1-a，
∴0.1-a=0，a=0.1，由题意可得y≤0.25=，
即()t-0.1≤，即t-0.1≥，
解得t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.
15.已知函数f(x)的定义域为R，直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴，且f(0)=1，则f(4)+f(10)=________.
答案 2
解析 ∵直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴，
∴f(2-x)=f(x)，f(4-x)=f(x)，
∴f(2-x)=f(4-x)，∴y=f(x)的周期T=2，
∴f(4)+f(10)=f(0)+f(0)=2.
16.给定方程：()x+sinx-1=0，则下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解;
②该方程有无数个实数解;
③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数解;
④若x0是该方程的实数解，则x0>-1.
正确的命题是________.
答案 ②③④
解析 对于①，若α是方程()x+sinx-1=0的一个解，则满足()α=1-sinα，当α为第三、四象限角时，()α>1，此时α<0，因此该方程存在小于0的实数解，故①不正确;
对于②，原方程等价于()x-1=-sinx，
当x≥0时，-1<()x-1≤0，而函数y=-sinx的最小值为-1，且有无穷多个x满足-sinx=-1，
因此函数y=()x-1与y=-sinx的图象在[0，+∞)上有无穷多个交点，因此方程()x+sinx-1=0有无数个实数解，故②正确;
对于③，当x<0时，由于x≤-1时，()x-1≥1，
函数y=()x-1与y=-sinx的图象不可能有交点，
当-1-1，故④正确.
故答案为②③④.
