13.
已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明：MN平面A′ACC′;
(2)求三棱锥C-MNB的体积.
命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，
四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.
MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，
MN∥平面A′ACC′.
(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，
BAC=90°， BC==2，
又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，
S△BCN=×2×4=4.
A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，
A′N⊥B′C′，A′N=.
又BB′⊥平面A′B′C′，
A′N⊥BB′，
A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点，
M到平面BCN的距离为，
VC-MNB=VM-BCN=×4×=.
14.
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.
解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.
故ADBD.
又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，
所以BD平面PAD，
又BD平面MBD，
所以平面MBD平面PAD.
(2)过点P作OPAD交AD于点O，
因为平面PAD平面ABCD，
所以PO平面ABCD.
因此PO为四棱锥P-ABCD的高.
又PAD是边长为4的等边三角形，
所以PO=×4=2.
在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，
所以四边形ABCD是梯形.
在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.
所以四边形ABCD的面积S=×=24.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×24×2=16.
