三、解答题
11.
如图,四边形ABCD与A′ABB′都是正方形,点E是A′A的中点,A′A平面ABCD.
(1)求证:A′C平面BDE;
(2)求证:平面A′AC平面BDE.
解题探究:第一问通过三角形的中位线证明出线线平行,从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直,再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直,从而得到平面与平面垂直.
解析:(1)设AC交BD于M,连接ME.
四边形ABCD是正方形,
M为AC的中点.
又 E为A′A的中点,
ME为A′AC的中位线,
ME∥A′C.
又 ME⊂平面BDE,
A′C⊄平面BDE,
A′C∥平面BDE.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形, BD⊥AC.
∵ A′A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A, BD⊥平面A′AC.
BD⊂平面BDE,
平面A′AC平面BDE.
12.
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.
(1)求证:D1CAC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由.
命题立意:本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直,从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系,借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行,证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.
解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D, DC=DD1,
四边形DCC1D1是正方形,
DC1⊥D1C.
又ADDC,ADDD1,DC∩DD1=D,
AD⊥平面DCC1D1,
又D1C平面DCC1D1,
AD⊥D1C.
∵ AD⊂平面ADC1,DC1平面ADC1,
且AD∩DC1=D,
D1C⊥平面ADC1,
又AC1平面ADC1,
D1C⊥AC1.
(1)题图
(2)题图
(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN.
平面AD1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E平面A1BD,
可使MND1E,又M是AD1的中点,
则N是AE的中点.
又易知ABN≌△EDN,
AB=DE.
即E是DC的中点.
综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.
13.
已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN平面A′ACC′;
(2)求三棱锥C-MNB的体积.
命题立意:本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
解析:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点.
MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′,
MN∥平面A′ACC′.
(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN,
BAC=90°, BC==2,
又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
S△BCN=×2×4=4.
A′B′=A′C′=2,BAC=90°,点N为B′C′的中点,
A′N⊥B′C′,A′N=.
又BB′⊥平面A′B′C′,
A′N⊥BB′,
A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点,
M到平面BCN的距离为,
VC-MNB=VM-BCN=×4×=.
14.
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
命题立意:本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等,意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力,考查化归与转化思想.
解析:(1)证明:在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.
故ADBD.
又平面PAD平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,
所以BD平面PAD,
又BD平面MBD,
所以平面MBD平面PAD.
(2)过点P作OPAD交AD于点O,
因为平面PAD平面ABCD,
所以PO平面ABCD.
因此PO为四棱锥P-ABCD的高.
又PAD是边长为4的等边三角形,
所以PO=×4=2.
在四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,
所以四边形ABCD是梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=,此即为梯形ABCD的高.
所以四边形ABCD的面积S=×=24.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×24×2=16.