1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a=|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹.
2.椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上.
3.求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算;如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2+ny2=1 (m，n为不相等的正数).
4.在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何关系.
第三章 圆锥曲线与方程
§1 椭 圆
1.1 椭圆及其标准方程
知识梳理
1.常数 椭圆 焦点 焦距 线段F1F2 不存在
2.+=1 (a>b>0) F1(-c，0)，F2(c，0) 2c +=1 (a>b>0)
作业设计
1.D [∵|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段.]
2.B [由椭圆方程知2a=8，
由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a=8，
|BF1|+|BF2|=2a=8，所以△ABF2的周长为16.]
3.D
4.B [|a|-1>a+3>0，解得-3b>0).
∵2a=10，∴a=5，又∵c=4.
∴b2=a2-c2=52-42=9.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为+=1 (a>b>0).
由椭圆的定义知，2a= +
=+=2，
∴a=.
又∵c=2，∴b2=a2-c2=10-4=6.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
11.解 ∵|PM|=|PA|，|PM|+|PO1|=4，
∴|PO1|+|PA|=4，又∵|O1A|=2<4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c=，a=2，b=1，
∴动点P的轨迹方程为x2+=1.
12.C [由椭圆方程得F(-1,0)，设P(x0，y0)，
则·=(x0，y0)·(x0+1，y0)=x+x0+y.
∵P为椭圆上一点，∴+=1.
∴·=x+x0+3(1-)
=+x0+3=(x0+2)2+2.
∵-2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0=2时取得，且最大值等于6.]
13.解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6,0)，C(-6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|+|CE|=30.
由重心性质可知
|GB|+|GC|
=(|BD|+|CE|)=20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点.
∴2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10，
b2=a2-c2=102-62=64，
故G点的轨迹方程为+=1 (x≠±10).
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有+=1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为+=1.
即+=1 (x≠±30).
