1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用.
2.椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用.
3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围.
1.2 椭圆的简单性质
知识梳理
焦点的
位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准
方程 +=1 +=1 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 轴长 短轴长=2b，长轴长=2a 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 2c=2 对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点 离心率 e=，02，∴<2.
∴点P(m，n)在椭圆+=1的内部，∴过点P(m，n)的直线与椭圆+=1有两个交点.]
6.C [∵·=0，∴M点轨迹方程为x2+y2=c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e=<.
又∵0b>0)，
将点(-5,4)代入得+=1，
又离心率e==，即e2===，
解之得a2=45，b2=36，故椭圆的方程为+=1.
8.
解析 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x+2y-2=0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b=1，c=2，从而a=，e==.
9.2
解析 由题意可知，圆心O到直线mx+ny=4的距离大于半径，即得m2+n2<4，所以点M(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点.
10.解 依题意知H，F(c,0)，B(0，b).
设P(xP，yP)，且xP=c，代入到椭圆的方程，
得yP=.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB=kOP，即=.
∴ab=c2.
∴e==，∴e2==e-2-1.
∴e4+e2-1=0.∵00，y>0)，由AF2⊥F1F2知x=c，
∴A(c，y)，代入椭圆方程得
+=1，∴y=，
∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2=x×y=2，
即c·=2，∵=，∴b2=8，
∴a2=2b2=16，
故椭圆的方程为+=1.12.B [由题意知2b=a+c，又b2=a2-c2，
∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac.
∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0.
∴5e2+2e-3=0.∴e=或e=-1(舍去).]
13.解 (1)∵a=2，c=，∴b==1.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得 ∴
又∵+y=1，∴+2=1
即为中点M的轨迹方程.
