1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.
2.抛物线的标准方程
(1)方程y2=±2px，x2=±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程.
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________.
(3)抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________.
(4)抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________.
(5)抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________.
一、选择题
1.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. 2aB.a C.|a| D.-a
2.与抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是( )
A.(1,0) B.(，0) C.(0,0) D.(0，)
3.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是( )
A.a+ B.a-
C.a+p D.a-p
4.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(-3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x
5.方程=|x-y+3|表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
6.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. 1B.3 C. 5D.6
二、填空题
7.抛物线x2+12y=0的准线方程是__________.
8.若动点P在y=2x2+1上，则点P与点Q(0，-1)连线中点的轨迹方程是__________.
9.已知抛物线x2=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________.
三、解答题
10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
能力提升
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
13.AB为抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a (a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离.
1.理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题.
2.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.
3.焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=2py通常又可以写成y=ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.
§2 抛物线
2.1 抛物线及其标准方程
知识梳理
1.相等 焦点 准线
2.(2)(，0) x=- 向右 (3)(-，0) x= 向左 (4)(0，) y=- 向上
(5)(0，-) y= 向下
作业设计
1.B [因为y2=ax，所以p=，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.]
2.D [y2=x关于直线x-y=0对称的
抛物线为x2=y，∴2p=，p=，∴焦点为.]
3.B [由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x=-的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a-.]
4.B [点P(-3，m)在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0).由抛物线定义知|PF|=3+=5.
所以p=4，所以抛物线的标准方程是y2=-8x.]
5.D [原方程变形为
=，它表示点M(x，y)与点F(-3,1)的距离等于点M到直线x -y+3=0的距离.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.]
6.A [
如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x=-的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.
因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 =.]
7.y=3
解析 抛物线x2+12y=0，即x2=-12y，故其准线方程是y=3.
8.y=4x2
9.(-∞，-3]∪[1，+∞)
解析 由题意知，设P(x1，x-1)，Q(x2，x-1)，
又A(-1,0)，PA⊥PQ，∴·=0，
即(-1-x1,1-x)·(x2-x1，x-x)=0，
也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x)·(x-x)=0.∵x1≠x2，且x1≠-1，
∴上式化简得x2=-x1=+(1-x1)-1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤-3.
10.解 设抛物线方程为y2=-2px (p>0)，
则焦点F，
由题意，得
解得或
故所求的抛物线方程为y2=-8x，m=±2.
抛物线的焦点坐标为(-2,0)，准线方程为x=2.
11.解 方法一 设P点的坐标为(x，y)，
则有=|x|+1，
两边平方并化简得y2=2x+2|x|.
∴y2=即点P的轨迹方程为y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).
方法二 由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y=0上的点适合条件;当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等，故点P在以F为焦点，x=-1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y2=4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).
12.C [方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x=-.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x-3)2+y2=16，
∴3+=4，∴p=2.
方法二 作图可知，抛物线y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0)，
所以-=-1，p=2.]
13.解
设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3.A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′，如图所示.
由抛物线的定义，知
|AF|=|AA′|=y1+，
|BF|=|BB′|=y3+，
∴y1=|AF|-，y3=|BF|-.
又M是线段AB的中点，
∴y2=(y1+y3)=
≥×=(2a-1).
等号在AB过焦点F时成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，M点与x轴的距离最近，最近距离为(2a-1).
