1.抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离.
2.抛物线的焦点弦可以借助于直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解，还要结合抛物线的定义.
2.2 抛物线的简单性质
知识梳理
1.(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴
(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p
2.(1)相切 (2)2(x0+) (3)p (4) -p2
作业设计
1.B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程.]
2.A [设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y=2px1，y=2px2，y=2px3，
因为2y=y+y，所以x1+x3=2x2，
即|P1F|-+|P3F|-=2，
所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.]
3.A [设PF1的中点为A，因为A在y轴上，
所以OA为△F1PF2的中位线，即有|PF2|=2|AO|，
因为F2(3,0)，∴P点坐标为，
即|PF2|=.∴|PF1|=4-=7×=7|PF2|.]
4.B [y2=ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y=2，令x=0得y=-.
∴××=4，∴a2=64，∴a=±8.]
5.C [∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的 直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意.∴满足条件的直线l2共有3条.]
6.D [可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|=p=xP+=+=，
|QF|=q=，∴+=+=.]
7.y2=4x
解析 设抛物线方程为y2=ax.
将y=x代入y2=ax，
得x=0或x=a，∴=2.∴a=4.
∴抛物线方程为y2=4x.
8.2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y=4x1，y=4x2.
∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
∵x1≠x2，∴==1.
∴直线AB的方程为y-2=x-2，即y=x.
将其代入y2=4x，得A(0,0)、B(4,4).
∴|AB|=4.又F(1,0)到y=x的距离为，
∴S△ABF=××4=2.
9.
解析 抛物线x2=2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y=x+，
由消去x，得12y2-20py+3p2=0，
解得y1=，y2=.
由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知===.
10.解 由y=mx2 (m≠0)可化为x2=y，
其准线方程为y=-.
由题意知-=-2或-=4，
解得m=或m=-.
则所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
11.证明 (1)当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴+=.
(2)当AB不垂直于x轴时，设直线AB所在的方程为：y=k，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|=m，|BF|=n，
∴m=+x1，n=+x2.
将直线AB的方程代入抛物线方程得
k2x2-(k2p+2p)x+=0.
∴
∴+===.
综上可知+为定值.
12.
B [如图所示，直线AF的方程为y=-(x-2)，与准线方程x=-2联立得A(-2,4).
设P(x0,4)，代入抛物线y2=8x，得8x0=48，∴x0=6，
∴|PF|=x0+2=8，选B.]
13.解 由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F(1,0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，
从而x1=4-1=3.
代入y2=4x，解得y1=±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，-2).
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x-1).
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1+x2=2+.
由抛物线的定义可知，
|AB|=x1+x2+p=4+>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，-2)，此时|AB|=4，
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
