三、解答题
9.已知单位正方形ABCD，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：
(1)AMB面积大于等于的概率;
(2)AM的长度不小于1的概率.
[解析] (1)如图，取BC、AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，ABM的面积大于等于，由几何概型定义得P==.
(2)如图，以AB为半径作圆弧，M在阴影部分时，AM的长度大于等于1，由几何概率的意义知P==1-×π×12=1-.
一、选择题
1.如图，已知O(0,0)，A(30,0)，B(30,30)，C(0,30)，E(12,0)，F(30,18)，P(18,30)，Q(0,12)，在正方形OABC内任意取一点，则该点在区域OEFBPQ内的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 依题意可得正方形OABC的面积为900，区域OEFBPQ的面积为900-2××182=576.记“该点在区域OEFBPQ内”为事件A，所以P(A)==.
2.函数f(x)=x2-x-2，x[-5,5]，那么任取一点x0[-5,5]使f(x0)≤0的概率是( )
A.1 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 任取一点x0[-5,5]的结果有无限多个，属于几何概型.画出函数f(x)的图像(图略)，由图像得当x0[-1,2]时，f(x0)≤0.设“使f(x0)≤0”为事件A，则事件A构成的区域长度是2-(-1)=3，全部结果构成的区域长度是5-(-5)=10，则P(A)=.故选C.
二、填空题
3.在直角坐标系xOy中，设集合Ω={(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则满足x+y≤1的概率等于________.
[答案]
[解析] 集合Ω={(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为，则满足x+y≤1的概率为P=.
4.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________.
[答案]
[解析] 如图，
点B可落在优弧上，其弧长为2，由几何概型知概率为.
三、解答题
5.(1)向面积为6的ABC内任投一点P，求PBC的面积小于2的概率.
(2)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，求PBC的面积大于的概率.
[解析] (1)取ABC边BC上的高AE的三等分点M，过点M作BC的平行线，当点P落在图中阴影部分时，PBC的面积小于2，故概率为=.
(2)据题意基本事件空间可用线段AB的长度来度量，事件“PBC的面积大于”可用距离A长为AB的线段的长度来度量，故其概率为=.
6.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
[解析] 记A={硬币落下后与格线没有公共点}，如右图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则小等边三角形的边长为4-2=2，由几何概型的概率公式得
P(A)==.
7.如图所示，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为·S，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，求落入M中的点的数目.
[解析] 记“点落入M中”为事件A，则有P(A)==，
所以向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，落入M中的点的数目为：
10 000×=25 00.
也可由S′=·S直接代入，即S′=1，S=4，n=10 000，
所以m===2 500.
答：落入M中的点的数目为2 500.
