上海市的居民在遇到断水问题时，可以通过以下步骤来申请断水。

首先，居民需要知道自己的供水单位，可以通过查询水费单或者咨询物业管理处等方式获得相关信息。在确认供水单位后，可以直接拨打供水单位的客服热线，向客服人员说明自己遇到了断水问题，并提供相关信息，如住址、联系方式等。

如果电话申请不方便或者无人接听，居民也可以前往供水单位所在的办公地点直接申请断水。在办理断水手续时需要提供身份证明等相关证件，并填写相关表格并进行签字确认。

在申请断水之前，居民需要确保自己已经妥善保存好自来水管道的阀门和水表等设备，以免在断水后发生其他问题。

在居民提交申请后，供水单位会安排相关人员前往现场进行检修和维修，一般情况下可以在数小时内解决问题，恢复供水。

总之，在遇到断水问题时，居民应该及时联系供水单位并按照相关要求办理断水手续，以便能够尽快恢复水源。