三角形内切圆是三角形中唯一一个与三边都相切的圆。我们可以通过证明三角形内切圆半径和三边之间的关系，来更深入地了解三角形内切圆的性质。

首先，我们可以通过三角形内切圆的定义，证明其半径等于三角形面积除以半周长。设三角形三边分别为a，b，c，半周长为s，则有：

面积S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

根据圆的面积公式，内切圆的面积为S，半径为r，则有：

S = πr²

将S代入上式，得到：

πr² = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

两边平方，得到：

r² = (s(s-a)(s-b)(s-c))/π²

由于三角形面积S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，可以将其代入上式，得到：

r = √((s-a)(s-b)(s-c)/s)

这就是三角形内切圆半径与三边之间的关系式。接下来，我们来证明这个关系式。

根据海伦公式，三角形面积S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长。将S代入上式，得到：

r = √(s(s-a)(s-b)(s-c))/s

将s拆开，得到：

r = √(s(s-a)(s-b)(s-c))/((a+b+c)/2)

将分母变形，得到：

r = 2√(s(s-a)(s-b)(s-c))/(a+b+c)

由于s = (a+b+c)/2，可以将其代入上式，得到：

r = 2S/(a+b+c)

这就是三角形内切圆半径与三边之间的关系式。证毕。

通过以上证明，我们可以得出三角形内切圆半径与三边之间的关系式：r = 2S/(a+b+c)，其中S为三角形面积，a、b、c分别为三角形三边长。这个关系式对于解决一些几何问题有很大的帮助，也有助于更深入地理解三角形内切圆的性质。