正切函数是初中数学中的一种重要的三角函数，它的定义是对于任意角 $x$，$\tan x=\frac$。在这篇文章中，我们将探讨 $60^\circ$ 和 $120^\circ$ 两个角的正切值之间的关系。

首先，我们知道 $60^\circ$ 和 $120^\circ$ 是两个互补角，也就是说它们的和为 $180^\circ$。因此，它们的余角相等，即 $\tan(60^\circ)=\cot(30^\circ)$，$\tan(120^\circ)=\cot(60^\circ)$。

接下来，我们来具体计算一下它们的正切值。首先，我们可以通过画一个 $30^\circ$、$60^\circ$ 和 $90^\circ$ 的等腰直角三角形来得到 $\tan(60^\circ)$ 的值。在这个三角形中，$30^\circ$ 的对边为 $1$，邻边为 $\sqrt$，因此 $\tan(60^\circ)=\frac{\sqrt}=\sqrt$。

同样地，我们可以画一个 $45^\circ$、$60^\circ$ 和 $75^\circ$ 的等腰直角三角形来得到 $\cot(30^\circ)$ 的值。在这个三角形中，$45^\circ$ 的邻边和对边都为 $1$，因此 $\cot(30^\circ)=\frac{\sqrt}=\frac{\sqrt}$。

对于 $\tan(120^\circ)$ 的求解，我们可以将它转化为 $\tan(60^\circ+60^\circ)$，然后利用正切函数的和差公式得到：

$$\tan(60^\circ+60^\circ)=\frac=\frac{2\sqrt}=-\frac{2\sqrt}{2\sqrt}=-1$$

同样地，我们可以将 $\cot(60^\circ)$ 转化为 $\cot(30^\circ+30^\circ)$，然后利用余切函数的和差公式得到：

$$\cot(30^\circ+30^\circ)=\frac=\frac{\frac{\sqrt}\cdot\frac{\sqrt}-1}{\frac{\sqrt}+\frac{\sqrt}}=-\sqrt$$

因此，我们得出 $\tan(60^\circ)=-\cot(30^\circ)$，$\tan(120^\circ)=-\cot(60^\circ)$ 的结论。

综上所述，$60^\circ$ 和 $120^\circ$ 两个角的正切值之间的关系可以总结为：$\tan(60^\circ)=-\cot(30^\circ)$，$\tan(120^\circ)=-\cot(60^\circ)$。