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已知抛物线的参数方程,如何化成标准方程

来源 :华课网校 2024-08-05 06:09:44

抛物线是高中数学中经常涉及的一类曲线,它的参数方程为 $x = at^2 + bt + c$,$y = dt^2 + et + f$,其中 $a,b,c,d,e,f$ 为常数,$a\neq0$,$d\neq0$。如果要将抛物线的参数方程化为标准方程,可以按照以下步骤进行。

首先,将参数方程中的 $t$ 消去,得到 $y = \fracx^2 + (\frac + b)x + \frac$。这个式子中,$\frac$ 决定了抛物线的开口方向和大小,$\frac+b$ 决定了抛物线的位置,$\frac$ 决定了抛物线的顶点位置。从这个式子中,我们可以看出抛物线的标准方程应该是 $y = ax^2 + bx + c$ 的形式。

接下来,我们需要将参数 $\frac$ 提出来,并将其与 $a$ 合并,得到 $y = a(x+\frac)^2 + \frac$。这个式子中,$(x+\frac)$ 决定了抛物线的对称轴位置,$\frac$ 决定了抛物线的顶点位置。从这个式子中,我们可以看出抛物线的标准方程应该是 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式。

最后,我们可以将参数 $\frac$ 写成 $-\frac+\frac$ 的形式,这样就得到了抛物线的标准方程 $y = a(x-h)^2 + k$,其中 $h = -\frac$,$k = -\frac+\frac$。

综上所述,将已知抛物线的参数方程化为标准方程的步骤包括:将参数 $t$ 消去,提取出 $\frac$ 并与 $a$ 合并,写成 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式,其中 $h = -\frac$,$k = -\frac+\frac$。这样,我们就成功将抛物线的参数方程化为了标准方程。

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