负八的立方根是指求一个数，使得这个数的立方等于负八。即求解$ x^3 = -8 $的解。

我们可以通过化简，将这个式子转化为 $ x^3 + 8 = 0 $。然后，我们可以使用求解一元三次方程的方法来求解这个方程的解。

首先，我们设 $ x = a + b $，代入方程 $ x^3 + 8 = 0 $ 中，得到：

$ (a+b)^3 + 8 = 0 $

展开后，得到：

$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 8 = 0 $

因为我们要求解的是负八的立方根，所以 $ a + b $ 的实部为零，即 $ a = -b $。

代入上式，得到：

$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + 8 = 0 $

将 $ a = -b $ 代入，得到：

$ -2a^3 + 8 = 0 $

解得：

$ a^3 = -4 $

因为 $ -4 $ 没有实数的立方等于它，所以我们需要引入复数。根据复数的定义，我们有：

$ a = \sqrt[3] \cdot \mathrm^ \pi/3} $

其中，$ \mathrm^ \pi/3} $ 是 $ \cos(\pi/3) + \mathrm \sin(\pi/3) $ 的指数形式。

因为 $ a = -b $，所以：

$ b = -\sqrt[3] \cdot \mathrm^{-\mathrm \pi/3} $

因此，负八的立方根为：

$ x = a + b = \sqrt[3] \cdot (\mathrm^ \pi/3} - \mathrm^{-\mathrm \pi/3}) $

化简后，得到：

$ x = \sqrt[3] \cdot 2\mathrm \sin(\pi/3) = -2\sqrt[3] + 2\sqrt[3]\mathrm \sqrt $。

因此，负八的立方根是 $ -2\sqrt[3] + 2\sqrt[3]\mathrm \sqrt $。