在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。当两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量；而当两个向量的方向互相垂直时，它们被称为垂直向量。在本文中，我们将讨论向量平行和垂直的公式。

首先，让我们考虑向量的平行性。两个向量a和b平行，当且仅当它们的夹角为0度或180度。这意味着它们的点积等于它们的模长的乘积。点积是两个向量的乘积的数量积，可以用以下公式计算：

a·b = |a| × |b| × cos(θ)

其中，|a|和|b|是向量的模长，θ是夹角。如果两个向量平行，则cos(θ)等于1或-1，因此点积为：

a·b = |a| × |b|

这个公式也可以用来判断两个向量是否平行。如果a·b等于0，则a和b垂直；如果a·b不等于0，则a和b平行。

接下来，让我们考虑向量的垂直性。两个向量a和b垂直，当且仅当它们的点积为0。这意味着它们的夹角为90度，且cos(θ)等于0。因此，我们可以用以下公式来判断两个向量是否垂直：

a·b = 0

这个公式也可以用来计算两个向量的夹角。如果a·b等于0，则θ等于90度。否则，我们可以使用点积公式计算cos(θ)，然后使用反余弦函数来计算夹角。

总之，向量平行和垂直的公式在数学中非常重要。它们可以用来判断向量的关系，计算向量的夹角，以及解决各种数学问题。