正方形是一种四边相等、四角相等、对边平行的特殊矩形，也是一种常见的几何形状。正方形的对角线是从一个角到与之相对的角的直线，它将正方形分成了两个等腰直角三角形。

我们知道，对于一个三角形，如果已知两个边的长度和它们之间的夹角，可以使用三角函数求出第三边的长度。而对于一个直角三角形，我们可以使用勾股定理求出其斜边的长度。因此，对于一个正方形，我们可以利用勾股定理求出其对角线的长度。

设正方形的边长为a，对角线长度为d，根据勾股定理可得：$d^2=a^2+a^2=2a^2$。因此，对角线的长度可以表示为$d=\sqrt=a\sqrt$。

现在我们来推导正方形对角线的长度和面积之间的关系。由于正方形的对角线将其分成了两个等腰直角三角形，因此可以得到每个三角形的面积为$S=\fraca^2$。由于正方形的面积等于其边长的平方，即$S=a^2$，因此正方形的面积可以表示为$S=2\times\fraca^2=a^2$。

接下来，我们利用三角形面积公式求出正方形的面积。由于每个等腰直角三角形的面积为$S=\fraca^2$，因此两个等腰直角三角形的面积之和为$S=2\times\fraca^2=a^2$。又因为正方形的面积等于两个等腰直角三角形的面积之和，因此可以得到正方形面积的公式：$S=a^2$。

现在我们可以利用对角线的长度和面积的关系来推导出求正方形面积的公式。由于正方形的对角线长度为$d=a\sqrt$，因此可以得到$a=\frac{\sqrt}$。将a的值代入正方形面积的公式$S=a^2$中，得到$S=\left(\frac{\sqrt}\right)^2=\frac$。因此，正方形对角线的平方除以2就是其面积，即$S=\frac$。

综上所述，我们通过勾股定理和三角形面积公式，推导出了正方形对角线的长度和面积之间的关系，并得到了正方形对角线求面积的公式$S=\frac$。这个公式的应用可以帮助我们更快地计算正方形的面积，提高计算效率。