假设我们有两个无限维空间，分别为$V_1$和$V_2$，我们希望证明它们的元素个数相同。

首先，我们需要明确一个概念，那就是“基”。在线性代数中，基是一个向量空间中最小的线性无关的向量组，它可以用来表示向量空间中的任何向量。因此，我们可以通过计算两个空间的基中向量的个数来比较它们的元素个数。

假设$V_1$的基为$\$，$V_2$的基为$\$，那么我们需要证明这两个基中向量的个数是相同的。

首先，我们可以尝试构造一个从$V_1$到$V_2$的线性变换。我们定义一个线性变换$T: V_1 \rightarrow V_2$，它将$V_1$中的基向量$v_i$映射到$V_2$中的基向量$w_i$，即$T(v_i) = w_i$。因为$T$是一个线性变换，所以它满足线性性和同态性，即对于任意的向量$x, y \in V_1$和标量$k \in \mathbb$，有：

$$T(x + y) = T(x) + T(y)$$

$$T(kx) = kT(x)$$

$$T(0_) = 0_$$

然后我们可以证明$T$是一个一一对应的映射。假设存在两个不同的向量$x, y \in V_1$，使得$T(x) = T(y)$，那么我们有$T(x-y) = T(x) - T(y) = 0_$，因此$x-y$是$V_1$的零向量。由于$V_1$的基向量是线性无关的，因此$x = y$。因此，$T$是一个一一对应的映射。

根据线性代数的基本定理，一一对应的线性变换将向量空间的基映射为另一个向量空间的基。因此，$T$将$V_1$的基$\$映射为$V_2$的基$\$。由于$T$是一一对应的，因此它保持了基向量的个数不变。因此，$V_1$的基向量的个数等于$V_2$的基向量的个数。

因此，我们证明了两个无限维空间的元素个数相同。