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对数换底公式五种推论的推导过程是什么

来源 :华课网校 2024-07-29 21:29:31

对数换底公式指的是,若a,b为正实数且a≠1,则loga b=logc b/logc a,其中c为任意正实数且c≠1。

对于这个公式,我们可以推导出五种推论:

推论一:loga (bc) = loga b + loga c

证明:loga (bc) = logc (bc) / logc a,而b = cloga b,c = alogb c,带入得:loga (bc) = logc (bc) / logc a = logb c / logb a + loga b / loga a = loga b + loga c

推论二:loga (b/c) = loga b - loga c

证明:loga (b/c) = loga b - loga (1/c) = loga b - loga c

推论三:loga bn = nloga b

证明:loga bn = loga (b × b × ... × b) (n个b) = loga b + loga b + ... + loga b (n个b) = nloga b

推论四:loga b = 1/logb a

证明:loga b = logb (1/a) = 1/logb a

推论五:loga b = logc b / logc a

证明:loga b = logc b / logc a,即cloga b = blogc a,两边取对数得:logb c × loga b = logb c × logc a,两边除以logb c得:loga b = logc b / logc a

综上所述,对数换底公式的五种推论都可以通过对数换底公式的推导过程得到。

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