交错级数收敛的充要条件
来源 :华课网校 2024-08-04 11:41:53
中交错级数是指级数中正项与负项交替出现的级数,其一般形式为:
$$
\sum_^(-1)^a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots
$$
其中 $a_n$ 为正数。对于交错级数而言,其收敛性相对于正项级数要更为复杂一些,需要满足一定的条件才能够收敛。
接下来,我们就来介绍一下交错级数收敛的充要条件。
首先,我们需要引入一个概念——交错级数的部分和。
对于交错级数 $\sum_^(-1)^a_n$,其部分和为:
$$
S_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^a_n
$$
接下来,我们就要介绍交错级数收敛的两个必要条件:
第一个必要条件是交错级数的正项 $a_n$ 序列需单调递减至零,即:
$$
a_1\geq a_2\geq a_3\geq \cdots \geq a_n\geq a_\geq \cdots \geq 0
$$
第二个必要条件是交错级数的部分和 $S_n$ 序列需有界,即:
$$
|S_n|\leq M
$$
其中 $M$ 为非负常数。
接下来,我们来证明一下这两个必要条件。
首先,我们证明第一个必要条件。
假设 $a_n$ 不单调递减,即存在 $n_0$,使得 $a_ 那么,我们可以将交错级数从第 $(n_0+1)$ 项开始分拆,得到: $$ S_n=S_+\sum_^(-1)^a_k $$ 由于 $a_ $$ S_=S_+(-1)^a_+(-1)^a_>S_ $$ 又因为 $a_n$ 不单调递减,所以 $(-1)^a_<0$,因此: $$ S_=S_+(-1)^a_+(-1)^a_ $$ 以此类推,我们可以得到: $$ S_>S_>S_>\cdots>S_ $$ 因此,$S_n$ 没有极限,即交错级数发散。 因此,我们证明了第一个必要条件。 接下来,我们证明第二个必要条件。 假设 $S_n$ 不有界,即存在 $n_0$,使得 $|S_|>M$。 那么,我们可以将交错级数从第 $(n_0+1)$ 项开始分拆,得到: $$ S_n=S_+\sum_^(-1)^a_k $$ 由于 $|S_|>M$,所以: $$ |S_|=|S_+(-1)^a_+(-1)^a_|>|S_| $$ 又因为 $|S_n|$ 不有界,所以 $|S_|<|S_|$。 以此类推,我们可以得到: $$ |S_|>|S_|>|S_|>\cdots>|S_| $$ 因此,$|S_n|$ 没有上界,即交错级数发散。 因此,我们证明了第二个必要条件。 综上所述,交错级数 $\sum_^(-1)^a_n$ 收敛的必要条件为:正项 $a_n$ 序列单调递减至零,并且部分和 $S_n$ 序列有界。
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