完备正交集是线性代数中非常重要的概念，它在向量空间的基础理论中有广泛的应用。在本文中，我们将介绍完备正交集的概念和性质。

首先，让我们先来了解一下正交向量的概念。在向量空间中，如果两个向量的内积为0，则这两个向量互相垂直，我们称之为正交向量。例如，在二维平面上，向量(1,0)和(0,1)就是正交向量。

接下来，我们来了解一下完备正交集的概念。在向量空间中，如果存在一组向量，它们两两正交，并且这组向量可以生成整个向量空间，我们称之为完备正交集。这个概念的意义在于，我们可以通过这组向量来表示向量空间中的任意向量。

那么，如何得到一个完备正交集呢？这里我们介绍一种常见的方法，即Gram-Schmidt正交化过程。该过程的思想是，对于给定的一组线性无关的向量，我们可以通过逐步正交化和归一化的过程，得到一组正交的向量。具体来说，假设我们有一组线性无关的向量，我们可以按照以下步骤得到一组完备正交集：

1. 将v1归一化，得到u1=v1/||v1||。

2. 对于i>1，计算出vi在u1,u2,...,ui-1张成的子空间中的投影，得到vi'。然后，令ui=vi-vi'，即ui是vi与u1,u2,...,ui-1垂直的向量。

3. 对于i=1,2,...,n，将ui归一化，得到ui'=ui/||ui||。

最终，我们得到的一组向量就是完备正交集。

完备正交集的一个重要性质是，它是线性无关的。因为如果存在一组不全为0的系数c1,c2,...,cn，使得c1u1'+c2u2'+...+cnun'=0，则这些向量不是线性无关的，与完备正交集的定义矛盾。

另外，完备正交集还具有一个重要的性质，即它是向量空间的一组基。因为对于任意一个向量v，我们都可以表示为v=c1u1'+c2u2'+...+cnun'的形式，其中c1,c2,...,cn是标量。这个表示方式叫做向量v在完备正交集下的坐标。

总之，完备正交集是线性代数中非常重要的概念。通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以得到一组完备正交集，并且这组向量可以表示向量空间中的任意向量。同时，完备正交集还具有线性无关和基的性质。