奇函数乘奇函数一定是一个奇函数吗
来源 :华课网校 2024-07-31 15:50:59
中奇函数是指在函数的定义域内,当自变量为正数时函数值为正数,当自变量为负数时函数值为负数的函数。那么问题来了,如果两个奇函数相乘,结果是否仍然是奇函数呢?
首先,我们需要知道一个奇函数的定义:f(-x)=-f(x)。那么,如果两个奇函数f(x)和g(x)相乘,我们可以得到:f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)。因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以它们的乘积f(x)g(x)也是奇函数。
这个结论可以用简单的代数证明,即假设f(x)和g(x)都是奇函数,我们可以将f(x)和g(x)表示为它们的正部分和负部分之和,即f(x)=f+(x)-f-(x)和g(x)=g+(x)-g-(x),其中f+(x)和g+(x)是f(x)和g(x)的正部分,f-(x)和g-(x)是f(x)和g(x)的负部分。因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f-(x)=-f+(x)和g-(x)=-g+(x)。
那么,f(x)g(x)=[f+(x)-f-(x)][g+(x)-g-(x)]=f+(x)g+(x)+f-(x)g-(x)-f+(x)g-(x)-f-(x)g+(x)。我们可以发现,f+(x)g+(x)和f-(x)g-(x)都是偶函数,因为它们的自变量都是正数,而f+(x)g-(x)和f-(x)g+(x)都是奇函数,因为它们的自变量一个为正数一个为负数。因此,f(x)g(x)的奇部分是f+(x)g-(x)-f-(x)g+(x),而这个奇部分也可以写成f(x)g(-x)。
因此,我们可以得出结论:奇函数乘奇函数一定是一个奇函数。
总之,奇函数乘积的奇偶性是由它们正负部分之间的交叉乘积来决定的。因为奇函数的负部分和正部分是关于y轴对称的,所以它们的乘积也是奇函数。
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